中科院历年高数甲_高数A真题

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1、中国科学院中国科技大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷试卷名称：高等数学（A）考生须知：1•本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。2•所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。一、选择题（每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分）（1）当xtO时，丄sin丄是（）xxB.无穷大量D.无穷且非无穷大量A.无穷小量C.有界且非无穷小量（2）设/⑴可微且满足li巴/(-力-/(0)2兀=1,则曲线处的切线斜率为（）B.22（3）二元函数/（x,y）在（兀（）,儿）处的两个偏导数存在是

2、f（兀,y）在（x0，丿°）处可微的（）A.充分条件C.充分必要条件B.必要条件D.既非充分也非必要条件0C（4）正项级数工％收敛的充分条件是（）n-A・纽vl(ngN)anB.诵＜1(72GN)d.h收敛n=lB.dxC・丫（陽+盼）收敛/:=1（5）下列广义积分中发散的是（▲严xlnxfA.A(1+x2)2c.inxf—r-~dxx2-l)二、填空题(每小题5分，共25分)(1)lim：_1丁xto兀_sirr兀(2)曲线y=sinx(0

3、+y2

4、当OS"时，f（x）=}-x2o（1）将.f（x）在［-龙，却上展开成傅里叶级数；00（_1/1-1001（2）根据（1）求和£厶。,：=i””］riH^一、（10分）设函数/（%）在［0,+8）上连续,在（0,+力）上可微，/（0）=0。当X>0时,Q

5、分，全部考试时间总计180分钟。2•所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。一、单项选择题（每题5分，共25分）1•如果函数/（X）,g（X）在点X=6/附近有定义，下列四个论断正确的是（）A・若广（6/）=1,则存在5〉0,使得/⑴在（Q-恥+小上严格单调;B.若/(兀)在x=a点取到极大值，贝〃（兀）在兀之点左侧单调增、右侧单调减；c.若y（6f）=o,/（%）在x=q点处可导，则在兀=。点处可导的充要D.若/*（兀）和g（x）都在x=a点取到极大值,则函数f（x）g（x）在x=q点必取到极大值。2

6、•当兀t0时，下列四个无穷小量阶数最高的是（A.ln(l+x)—x+—x-丄cosQsin兀333•设/（x）=v兀血/心。，则广⑴在兀=0处（）0,x=0V.A.不连续；B.连续，但不可导；C.可导，但导函数不连续；D.可导，且导函数连续。4•设/（0,0）=0,当（兀,刃工（0,0）时.f（x,y）为如下四式之一，则/（x,y）在点B.Mx~+y~)A.小x2+y2兀4+~9兀_+)厂A.若对所有自然数斤,atl〉0满足色也＜1,an则正项级数工％收敛;B.若对所有自然数九,+8色＞o满足低则正项级数£坷收敛;n=

7、l+COC.若正项级数文收敛，则lim^=0；/

8、=1HT8n+00+OOD.若色〉0单调减，且级数工（-1）乜发散，贝IJ级数工（［）"收敛。色+1填空题（每题5分，共25分）6•方程y"-2/+y=ex的通解为*17•级数y（H4--）X/，的和为21n&设f（x,y）是连续函数，D是由直线x+y=1与x轴、y轴所围成的平面域。已知关系式y）dxdy4-/（x,y）4-e{l~y）2=0成立，贝U积分DJJ/（兀,y）dxdy=。D-2me-efax=x1°•积分1］乞（-*畑=/:=05•下列四个论断正确的是（三

9、、解答题（每题8分，共40分）211・设）,=）心）是由In7^T7=arctan确定的隐函数，求空和仪。xdxdx~12•计算JJJzdxdydz,其中V是球面%2+y2+^2=2血和/+y2+才=血所围V'成的空间区域，d〉o为常数。13・（1）将y=arcsinx展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式;（2）对Ovbvl,证明