轨迹问题— 通过中间变量求轨迹方程

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课题：随机事件的概率授课教师：赵恩授课年级：高二【教学目标】1．知识与技能：1）掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。2）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步认识随机现象，了解概率的意义；2．过程与方法：通过经历数学实验，观察、发现随机事件的统计规律性，了解通过大量重复试验，用频率估计概率的方法；3.情感、态度、价值观：通过随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的发现，体会偶然性和必然性的对立统一．【教学重点】概率的意义.【教学难点】通过观察数据图表，总结出在大量重复试验的情况下，随机事件的发生所呈现出的规律性.【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合.【教学手段】投影和计算机辅助教学.【教学流程】生活经验数学概念考察概括生活中的随机现象随机事件的概念面对随机现象能够作出决策概率从数量上反映事件发生的可能性用命中率估计概率概率的统计定义第8页 【教学过程】一、创设情境，体会随机事件发生的不确定性1.展示生活实例1：“麦蒂的35秒奇迹”从同学们都很感兴趣的篮球比赛说起，介绍比赛最后时刻的情形.为什么在那个时刻，所有人都紧张的注视着麦蒂和他投出的篮球？你能确定神奇的麦蒂在即将开始的NBA比赛中的下一个三分球投进了吗？设计意图从学生感兴趣的生活实例引入，一方面是为了激发学生的听课热情，另一方面也是让学生体会学习随机事件及概率的原因和必要性.抓住生活实例中包含数学思维的部分进行提问，引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界，对生活中的现象和感性认识进行理性思考．2．展示生活实例2：杜丽北京奥运夺金我们都曾非常关注北京2008奥运会，大家知道这名中国射击运动员的名字吗？为什么射击比赛中每一枪都如此扣人心弦呢？设计意图奥运会是社会热点话题，可以增强学生的国家自豪感．3．展示生活实例3：“石头、剪刀、布”再看发生在我们身边的实例，甲、乙两个同学想看同一本好书，于是采用“石头、剪刀、布”的方式决定谁先看．那么能够预先确定甲和乙谁获胜吗？设计意图回到学生身边．从生活体验中归纳共性，包含了综合、概括、比较等分析过程，是形成概念的有效途径．因此在这一阶段通过创设情境唤起学生的兴趣，使他们身处现实情境中，为后续的思维活动建立起感性认识基础．二、归纳共性，形成随机事件的概念从数学的角度研究事件时我们主要关注事件是否发生，结果能否预先知道，从结果能够预知的角度看，能够发现以上事件的共同点吗？设计意图有了前面的基础，此时学生能够有效的概括、抽取上述生活体验的共性．在数学上研究事件时，主要关注在相应的条件下，事件是否发生，因此在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散．以上这些事件都是可能发生也可能不发生的事件．第8页 那么在自己的身边，还能找到此类的事件吗？有没有不属于此类的事件呢？通过以上思考，发现事件可以分为以下三类：必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件．事件的表示：用大写字母A、B、C……表示设计意图在形成概念之前，通过主动的思考，在自己身边举例，巩固学生对随机事件的思维基础；二是通过对比，明确事件分类的标准和概念之间的差异．巩固练习三、深入情境，体会随机事件的规律性我们看到，随机事件在生活中是广泛存在的，时刻影响着我们的生活．正因为体育比赛中充满了随机事件，而让比赛更加刺激、精彩，让观众更加紧张投入；因为每天的校园生活充满了随机事件，而让我们走入校门的时候内心涌动着好奇与兴奋；因为人生道路上充满了随机事件，而让我们每个人的人生各有各的不同，各有各的精彩．我们生活在一个充满了随机事件的世界当中．同时，我们身边也有一些意外是随机事件，那我们是不是因此而时刻都充满着恐慌呢？实现自己的目标这也是个随机事件，我们是不是就因此而放弃了今天的努力了呢？我们没有，这就说明随着我们在每天的生活中不断地接触随机事件我们对他发生的规律性有了一些感性的认识，那么接下来我们将对此做一些理性思考设计意图第8页 这一段教学首先表现了随机事件带给人们丰富多彩的生活，体现了教师对数学、对概率的喜爱和热情，传递给学生学习数学的积极态度．其次，这段教学既是对前面内容的总结，也引出了下面研究思考的方向，起到承上启下的作用，同时也就揭示了人们认识随机事件的过程，以及随机事件随机性和规律性之间的联系．第三，通过反问，使学生意识到，生活的不断体验已经使我们积累了一些对随机事件规律性的感性认识，那么接下来就是要挖掘出这些感性认识下面的理性依据，以这种方式激发学生对生活经验的反思和探究，同时帮助学生形成正确的世界观．回到最开始的三个实例中，反思其中包含着哪些对随机事件规律性的感性认识，以此为基础进行理性思考．1.提出问题，引发思考：(1)既然三分球的命中都有随机性，为什么不是姚明来投最后这个三分球？(2)既然每个人参加奥运会获得金牌都是随机事件，为什么派杜丽来参加奥运会射击比赛？(3)为什么石头、剪刀、布对双方来说是相对公平的？2.再次抽取共性，形成抽象概念：从同学们的回答中，可以体会到，事件发生的可能性有大小之分，是可以比较的，从而抽象出可以用数量表示事件发生的可能性的大小，这就是概率的意义．3.用概率的语言回答前面的问题．设计意图借助前面的事例，减少课堂的阅读量和重复思维量，可以提高课堂效率，也增强了规律性与随机性的对比．并且三个问题在学生看来是很容易回答的，这恰恰说明概率的雏形在生活实践中已经产生，同时这样的问题也更有利于学生对概率概念本身的把握，抽象过程就变得顺其自然了．四、层层深入，形成概率的统计定义计算事件的概率、估计事件的概率是数学中很重要的一个内容，对此，有哪些具体方法呢？以下教学分为4个层次：1.从生活经验中体会可以用（大量重复）试验的方法来估计概率：“麦蒂投出三分球命中”和“姚明投出三分球命中”都是随机事件，并且都难以用理论推导得出准确的概率，那么生活中“麦蒂投三分球命中的概率高于姚明”的经验是如何得到的呢？其实是用三分球命中率来估计概率，那么三分球命中率是如何计算的呢？第8页 ，投一次三分球就是进行了一次试验，那么命中率实际是事件发生的频率．讨论总结得到：可以用试验的频率来估计事件的概率．在我们班与四班的篮球对抗赛中靳江涛投出了一个三分球而且投中了，于是说估计他三分球命中的概率大致为100%是否科学？显然是不科学的，因为概率大致为100%意味着靳江涛投三分球基本上都是命中的，这显然与实际情况不相符合．分析总结得到：可以用大量重复试验的频率来估计事件的概率．设计意图基于初中的学习，有些学生具备了用试验频率来估计概率的经验．但对于“为什么可以这样做”，缺乏思考，导致在分析问题、分析数据时会出现偏差．因此从学生熟悉的命中率入手，首先说明这种方法来源于生活经验，为接下来的探讨做准备．2．通过数学实验，观察各组频率是否体现出规律性：可以用大量重复试验的频率来估计投三分球命中的概率，那么这种方法是否具有普遍性？方法的理论依据是什么？事件发生的频率有什么样的规律性使得我们可以用它来估计概率？下面进行数学实验．[数学实验]在桌面上，随机的抛掷一枚硬币，研究硬币出现正面的概率．实验的准备：现在我们能从理论上推导这个概率吗？有什么办法来估计呢？在进行试验的时候应该注意哪些方面呢？实验的要求：学生六人一组，进行试验，每人试验10次，注意试验的条件要求：竖直随机上抛，重复试验．实验结果的汇总与展示：各组汇报频数，输入到电子表格中，同时自动计算出各组频率并绘制出折线图．第8页 观察得到的数据表格和折线图，能够观察出规律，以帮助我们估计出事件发生的概率？设计意图这一数学实验的结论不易直接推导，这说明了进行试验的必要性，也更大的调动了学生参与的积极性．学生的亲身体验，更有利于概念的形成，以及对规律的认同．对于各组频率统计表，学生也可以从中观察出一定的规律，但是这一规律尚不能帮助我们估计事件发生的概率，或者说精度不够．在此处实现学生在思考问题时的一个冲突，激发更细致的分析随机事件规律性的主动性．3.观察累积数据的频率表和折线图，形成概率的统计定义：对于将所有数据累加后计算频率，来估计概率的方法，实际上就出现了累积数据的想法．对比前面对命中率的研究，其实累积数据就相当于大量重复同一试验，与前面的分析具有一致性．下面就利用电子表格的计算功能，计算出累积各组数据的频率并绘制出折线图，从数或形两个角度观察累积数据的频率是否体现出规律性？第8页 此图表中体现出的规律性是否具有一般性？对比三分球命中率折线图和抛掷硬币出现正面的折线图：以上从数据和图形两方面印证了前面总结的规律性，形成概率的统计定义：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．设计意图这一段是本节内容的难点，需要把对数据、图表的直观印象转化为抽象的概率定义．之所以可以用大量重复试验的频率来估计概率，是因为在数、图中累积数据的频率体现出了一定的“稳定性”，即规律性，使得我们能够从图表中大致判断出事件概率的范围、具体大小．这里首先还是坚持从多组数据中抽取共性来形成概念，其次注重数与形的相互转化，把图形上的规律用数去描述，把数据上的规律用图形去验证，限于篇幅，教案中并没有把几个数据表格粘贴上来，但是在教学过程中数表起到了与折线图相同的作用．最后还采取了一些具体手段来帮助学生发掘、描述规律，如在折线图中绘制一条水平的红线，更为清晰的表现出频率在常数附近摆动的规律．4．运用概念，加深理解：通过刚刚总结出来的规律，能够估计出“硬币出现正面”的概率了吗？（估计概率为50%）判断下列说法的对错：(1)抛掷一枚硬币，有可能出现正面，也有可能出现反面；(2)因为抛掷一枚硬币出现正面的概率是0.5，所以抛掷两次时肯定有一次出现正面；(3)因为抛掷一枚硬币出现正面的概率是0.5，所以抛掷12000次时，出现正面的次数很有可能接近6000次．设计意图通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解，继而与原有的知识结构相互联系，帮助学生体会随机事件的随机性和规律性是不矛盾的，是辨证统一的，即随机事件在一次试验中体现出随机性，在大量重复试验中体现出规律性．第8页 五、课堂小结通过本节课的学习，思考下列问题：1.事件“甲乙两人采用‘石头剪刀布’的方式，甲获胜”是哪一类事件？2.为了估计上述随机事件发生的概率，你能想到哪些方法？设计意图通过对课堂实例的思考，回顾了随机事件的概念和用频率估计概率的方法，在思考中师生共同完成本节课的小结，同时形成板书，突出概念与方法．作业：1.设计恰当的数学实验，估计上述随机事件发生的概率；2.查阅有关资料，了解概率发展的历史．【板书设计】随机事件事件A发生的频率事件A发生的概率总是接近某个常数在这个常数附近摆动估计随机事件的概率大量重复试验第8页