利用参数求轨迹方程

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时间:2018-07-26

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1、利用参数求轨迹方程四川江油中学唐秋明邮编621700在高中数学中,我们常常遇到求动点轨迹方程,这个课题是中学数学的一个重要内容。但在有些求轨迹方程问题中,对于动点的坐标x、y不容易找到直接的关系,而如果选择适当的参数,轨迹的参数方程却较容易求得,所以,利用参数求轨迹方程是解决比较复杂的求曲线方程问题的重要方法。对用参数求轨迹方程,有不少同学感到无从下手,故本文在这里归纳出利用参数求轨迹方程的基本方法,以帮助同学们掌握解体规律,提高解题速度。由曲线的参数方程{形式我们可以看出,曲线的参数方程{实质上表示的是曲线上的动点坐标(f(t),g(t)),故求曲线的参数方程就是求动点的坐标。因此,根据求

2、动点坐标的不同方式,对求曲线的参数方程有以下解法:一、坐标定义法:这种方法就是充分利用题目中的条件,用坐标的定义,将动点的横纵坐标分别用与x轴平行和与y轴平行的线段表示,然后根据动点运动时联系这两个线段的变量关系,设置参数建立方程。例1.第7页共7页如图,OB是机器上的曲柄,长是r,绕点O转动,AB是连杆,M是AB上一点,MA=a,MB=b。当点A在Ox上作往返运动,点B绕找点O作圆运动时,求点M的轨迹方程.YBMXNAM’OB’探求:由坐标定义,设动点M的坐标为(x,y),过M做X轴的垂线,垂足为M’,则y=M’M;再过B作X轴垂线,垂轴为B’,过M作BB’的垂线交BB’于N,于是,x=O

3、M’=OB’+B’M’,由观察可知:线段M’M、B’M’及OB’的长度与∠MAO的大小相关,所以设∠MAO=θ,则得曲线的参数方程一、配方法当动点是已知方程的圆锥曲线的中心或顶点时,由于圆锥曲线的中心和顶点均可用配方法求得,所以,对此类问题通常利用配方法求解。例2:设曲线,当θ第7页共7页变化时,求抛物线顶点的轨迹方程。探求:因为,将方程配方后就可得抛物线的顶点坐标,故将方程配方为:即得顶点轨迹的参数方程:,化为普通方程是:。一、公式定义法:对于可用公式或定义表示的动点的轨迹,我们可以直接利用公式或定义直接表示该动点坐标,然后再根据题意选择参数(确定参数),求出该曲线的轨迹方程。例3:圆上有

4、定点A(2,0)和两动点B、C,且恒有,求△ABC的重心的轨迹方程。Y探求:由重心坐标公式知,只要能表示出三角形三顶点的坐标,那么,其重心的坐标(即动点参数方程)就可求得,如图:BXOCA(2,0)第7页共7页我们连接BO,CO,由ÐBAC=,则ÐBOC=,因为B、C在圆上,故设点B,则点C的坐标为,由重心坐标公式得轨迹的参数方程:(q为参数)化为普通方程是:,轨迹为以点为圆心,2/3为半径的圆。例4:设复数满足

5、z

6、=r(rÎR,r>0),且ω=,求动点ω的轨迹方程。探求:由复数的代数形式定义可知,求出复数ω的实部与虚部就可求出动点ω的参数方程,故本题的解法就是将复数ω用定义分成实部与虚部

7、。设z=r(cosθ+isinθ),代入ω=化简得:ω=,设ω=x+yi(x,yÎR),即得动点ω的参数方程:(θ为参数)第7页共7页化为普通方程就是:一、交轨法如果动点是几条曲线的交点或与这几条曲线的交点的有关,利用求交点(求交点的过程)或设交点坐标,再进行适当的转化就能求出动点的轨迹方程。QRYXOP例5:已知椭圆,直线l:,P是L上一点,射线OP交椭圆于R,有点Q在OP上,且满足

8、OQ

9、

10、OP

11、=

12、OR

13、2,当P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。(95高考理科25题)探求:(解法1)动点Q与直线OP与椭圆和直线的交点有关,故本题考虑用交轨法;又由于题目的条件

14、OQ

15、

16、

17、OP

18、=

19、OR

20、2第7页共7页反映三条以原点为起点线段的长度关系,利用过原点的直线的参数方程求其长度比较简便,所以有以下解法:设OP的参数方程为:(t为参数)①将①代入椭圆方程,解出②将①代入直线方程,解出③设动点Q(x,y)对应的参数是,则由

21、OQ

22、

23、OP

24、=

25、OR

26、2及同向,于是可解出==,(≠0),代入①就得出动点Q的参数方程,消去参数就得出Q点的普通方程:,;其轨迹为以点(1,1)为中心,长轴长2a=,短轴长2b=的椭圆。(解法2):设Q(x,y),P,R,由条件

27、OQ

28、

29、OP

30、=

31、OR

32、2和相似三角形性质,可得:;所以,只需解出代入上式就可得出动点Q的轨迹方程。由条件Q,P共线,

33、P在L上,就有,由此解出;同理解出第7页共7页,代入,化简就得出Q点的轨迹方程(下同解法1)综上所述,求动点轨迹的参数方程就是求动点的坐标,我们可以根据题目中产生该动点的形式,设计适当的方法来求它的轨迹方程。2000年12月28日星期四第7页共7页

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