弹性力学平面问题(I)

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1、第二章平面问题的基本理论§2-1平面问题的概念§2-2平衡微分方程§2-3平面问题中一点的应力状态§2-4几何方程§2-5物理方程§2-6边界条件§2-7圣维南原理及其应用§2-8按位移求解平面问题§2-9按应力求解平面问题相容方程§2-10常体力情况下的简化应力函数§2-1平面问题的概念应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。一.平面应力问题x

2、yyztba1.几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——等厚薄平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等2.受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚度方向（z方向）不变化。xyyztba3.简化分析（1）应力分量如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。板面无面力，则因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由切应力互等定理因其他各应力分量沿z方向变化途径极短，且变化增量微小。故认为各应力分量与z无关所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。即（2）应变分量由广义

3、胡克定律，并令仅与x、y有关可由表出所以平面应力问题独立的应变分量只有三个，且仅与x、y有关。即但（3）位移分量假设为稳定平衡（不发生翘曲）所以，位移分量仅有u、v且仅为x、y的函数当t=0时（理想平面应力问题），z=常数，w≡0当t0时（广义平面应力问题），w可由u、v表出；且wu、v所以平面应力问题独立的位移分量只有两个，且仅与x、y有关。（4）结论平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。即但简化的主要依据是因t很小，进一步分析可知：二.平面应变问题1.几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状

4、和尺寸不变化。——近似认为无限长ablxyzO2.受力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。p水坝滚柱厚壁圆筒3.简化分析（1）位移分量xyyz1ba任取一横截面（与z无关），因无限长，可视为对称面，则其上任一点w0。仅存u、v，且与z无关。所以（2）应变分量由w=0，及应变的定义易知（2）应变分量（3）应力分量由广义胡克定律反解，并令可见，独立的应力分量仅三个由变形对称性易知由任一截面与z无关易知即但（4）结论平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。即但简化的主要依据是与平面应

5、力问题的基本未知量相同。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题三.两种平面问题物理方程的关系根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程对于平面应力问题，由z0对于平面应变问题，由zxy)与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。为了建立数学模型需研究三个方面的关系：（1）静力学关系：应力与外力(体力、面力)间的关系；（2）几何学关系：变形与位移间的关系；

6、（3）物理学关系：变形与应力间的关系(本构关系)。四.弹性力学平面问题的提法综合三个方面的关系建立数学模型数学模型的求解力学模型——§2-2平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DfxfyZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：fx，fyAC面：BC面：注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODfxfy由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有——切应力互等定理PBACxyODfxfy两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：平面问题的平衡微分方程：说明：（1）两个平衡微分方程，三

7、个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，z方向自成平衡，x、y方向的平衡方程相同，故上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）整个弹性体（包括内部、边界）平衡条件都须满足。PBACxyODfxfy§2-3平面问题中一点的应力状态一.斜面上的应力1、斜面上应力在坐标方向的分量px，pyxyOdxdydsPABppxpyN设P点的应力分量已知：斜面AB上的应力矢量:p斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：由微元体平衡：整理得：得：外法线同样，由xyOdxd

8、ydsPABppxpyN2、斜面上的正应力与切应力将前式代入，并整理得：说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，