弹性力学-平面问题

《弹性力学-平面问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章平面问题的基本理论要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等主要内容§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程刚体位移§2-5斜方向的应变及位移§2-6物理方程§2-7边界条件§2-8圣维南原理§2-9按位移求解平面问题§1-10按应力求解平面问题相容方程§1-11常体力情况下的简化§1-12应力函数逆解法与半逆解法§2-1平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何

2、特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方

3、向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy

4、的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；两类平面问题

5、：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。上次课的主要内容：外力、应力、形变、位移。基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用）基本概念：§2-2平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DXYZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：X，YAC面：BC面：注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODXY由微元体PABC平衡，得

6、整理得：当时，有——剪应力互等定理PBACxyODXY两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：平面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY§2-3斜面上的应力主应力1.斜面上的应力（1）斜面上

7、应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN设P点的应力分量已知：斜面AB上的应力矢量:s斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：由微元体平衡：整理得：（2-3）整理得：（2-4）外法线xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正应力与剪应力（2-3）（2-4）将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：（2-5）（2-6）说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。——任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边

8、界S，则（2-18）——平面问题的应力边界条件2.一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNN（1）主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；当时，有求解得：（2-7）——平面应力状态主应力的计算公式主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；由式（2-7）易得：——平面应力状态应力第一不变量（2）应力主向设σ1与x轴的夹角为α1，σ1与坐标轴正向的方向