弹性力学平面问题(6、7、8)

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1、弹性力学主讲：张盛能源科学与工程学院§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程主应变应变花上讲回顾（引言）22021/7/15（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）——平面问题的应力边界条件（1）斜面上的应力（2-18）xyOdxdydsPABppxpyN（2-8）表明：σ1与σ2互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力（2-7）τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。xyOPAdxBdyuv——几何方程（2-9）说明：§2-5物理方程（重点）§2-6边界条件（重点）§2-7圣维南原理（重点）本讲主要内容72021/

2、7/15平面应力问题物理方程平面应变问题的物理方程两类问题的物理方程转换§2-5物理方程2021/7/15ZS物理方程：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1.各向同性弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。（2-13）其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中（2-15）——平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式（2）平面应变问题的物理方程由于平面应

3、变问题中（2-16）——平面应变问题的物理方程注：(2)平面应变问题物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得（2-13）(1)平面应变问题中，但？（3）两类平面问题物理方程的转换：（2-16）——平面应变问题的物理方程——平面应力问题的物理方程（2-15）(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：应力边界条件位移边界条件混合边界条件§2-6边界条件2021/7/15ZS1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）未

4、知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。2.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。xyOqP是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界——三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：（2-17）——平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。xyOqP（2）应力边界条件给定面力分量边界——应力边界xyOdxdydsPABpxpyN由前面斜面的应力

5、分析，得式中取：得到：（2-18）式中：l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：——平面问题的应力边界条件垂直x轴的边界：垂直y轴的边界：（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：——位移边界条件——应力边界条件图(b)：——位移边界条件——应力边界条件——位移边界条件平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）（4）边界条件：（1）（2）——应力边界条件——平面

6、应力问题例1~6课堂练习与讨论2021/7/15ZS例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtanβ）:N例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即AB边界：由应力边界条件公式，有（1）AC边界：代入应力边界

7、条件公式，有（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例6例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：N静力等效圣维南原理及其应用§2-8圣维南原理2021/7/15ZS问题的提出：PPP求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1.静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、

8、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。2.、圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把