1977年上海市高考数学试卷(理科)

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1、1977年上海市高考数学试卷（理科）　一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1997•上海）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．　2．（10分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．　3．（10分）（1997•上海）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．　4．（10分）（1997•上海）正六棱锥V﹣ABCDEF的高

2、为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．　5．（10分）（1997•上海）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．　6．（10分）（1997•上海）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．　7．（10分）（1997•上海）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？　8．（10分）（1997•上海）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的

3、解．　9．（10分）（1997•上海）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．　10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．　1977年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1997•上海）（1）化

4、简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．考点：对数的运算性质；复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．专题：计算题；综合题．分析：（1）利用平方和公式、同分，然后化简即可．（2）利用对数的运算性质，化简即可．（3）把i代入方程验证即可．（4）三角方程的左边利用诱导公式化简即可．解答：解：（1）原式=．（2）==（3）令x=i，左边=2﹣3i+3+3i﹣5=0，所以i是所给方程的一个解．（4）证：左边=====右边．点评：本题考查对数的运算性质，复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，

5、是基础题．　2．（10分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似三角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．解答：解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，∴，b•DE=ab﹣a•DE，故．点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．　3．（10分）

6、（1997•上海）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：根据题意可求得AC和AB，再根据余弦定理求得BC，最后利用正弦定理求得sinC，进而求得C．解答：解：由已知条件可知，AC=，AB=2，∠CAB=60°根据余弦定理，可得BC=（1+）2+4﹣2cos60°（1+）•2=．由正弦定理，则，∴∠C=45°．点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．余弦定理和正弦定理是解三角形问题中常用的方法，应该熟练记忆．　4．（10分）（1

7、997•上海）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．考点：简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积；直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：（1）由正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．易得其正视图为高为2cm，底边长为4cm三角形，侧视图为高为2cm，底面长为2cm三角形，俯视图为边长为2cm的正六边形．（2）其侧面积等于六个全等的三角形面积的和，由已知中的高及底面边长，我们易求出侧高，进行得到侧面积．（3）由（2）中侧高的长，我

8、们可以计算出侧棱的长，进而易得侧棱与底面的夹角．解答：解：（1）按1：1画出正六棱锥V﹣ABCDEF的三视图，如右图示：（2）斜高为（c