高等数学A(下)练习题及答案

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1、高等数学A（下）练习题一、填空题1•设刁=F—3j+4«,b=2i+6j+Ak,且Q丄方，贝必=4；2•设平行四边形两邻边为a=2i+2j+2k,b=U2j+4k,则该平行四边形的面积为—V56_;3•过无轴且垂直于平呦5x+4y-2z+3=0的平面方程为2y+4z=04.my平面上的抛物线），=2兀绕x轴旋转生成的旋转抛物而方程为—），+z2=2%；5•设心严，则単Q;（123）6.设/(x,y.z)=ln(x2+y2+z2)，则gra妙(1,2,一2)7•椭球面2x2+3/+z2=6在点(1,1,1)处的法线方程为口=□=二462&交换积分次序：J'rfrjXf(x

2、,y)dy=—聞訂(兀)皿;9•判别级数£妬的敛散性，结论：该级数是一发散n=l°级数爲+1)5+2)的和为11・幕级数f〃的收敛域是[-1,1）n=iln.3412•微分方程（曲）牛宀。的通解为—呼=£+c二、计算题l.z=/（兀,y）由方程x2+y2+2z2=2z确定，求奚具学。ardxdy解：方程为:x2+y2+2z2=2z方程两边对x求导，得到2x+4z-zx=2zx整理得到：（4z-2）-za.=-2x所以：z=^L=-2x(4z-2Yl4z-2'7再两边对y求导，得到zvv=-2x(-l)(4z-2f24zy方程x2+y2+2z2=2z两边对y求导，得到2

3、y+4z・zv=2z).所以zv=—,从而zvv=8x(4z-2)-2—=-16x)'(4z-2)~34z24z22.设Z=+且/具有二阶连续偏导数，求尖，鑒。uydyox解：令w=x24-y2v=xy.所以z=/(w,v)则z、,=/>竹+人巴=2yJ+xJ再对x求导，则z刃=(2y•/；+兀・£)a.=2y(f{x+f2+兀(Q又Zx=fjux^fv•叫=2兀J+『•£=£即£=2jrJ+yJ所以(久).广2兀・人+歹J?(从.=2炉九+y・/22最后z严=2丁(/；)乂+£+兀(£)广2『(2兀•九+y・/；2)+E+兀(2兀・£i+y・£2)3.求二重积分JJ

4、xydxdy，其中D为直线y=x+2及抛物线y=疋所围成的闭区域。D解：先画图，可以确定y=x+2与y=F的交点为.(-1J),(2,4)该题用X型区域做比较简单，jjxydxdy=jdx^2"xydy=jxdx^~ydy—d_lA_1"2>2x+2I2“丿(X4,X3£、I4''3•*2T?dx=^^(x+2)2-xx4cbc=^-+4-4-4-——I*2(4326丿4.求三重积分JJJCr2+才肋;,其中(2是由4z2=9(x2+)")及平而z=3所围成的闭区域。Q(x2+y2)dz=jj(x2+y2)3-心C2.3)=l力帥PdpJ)J丿解：先画简单二维截面图

5、，可知z产£(严+，2),22=3,且利用两者相交得到xOy的投影区域£、•为F+y2二4所围成，贝IJ:dxdy=2彳12一

6、16卜5•将函数/（x）X1+3x+2展开成（兀-1）的幕级数。解:/（兀）11X2+3%+2（兀+1）（兀+2）兀+1x+22+（兀一1）3+（兀一1）21-「（-1）:31r（^-ni2I31111所以fMI11114-00■4^（xj）Jn=0（x-l）21-31232i3,X<12Zn=0且有卜1（兀T）2

7、：r2+r-6=0,即（厂+3）（厂-2）=0所以有：“=—3虫=2,则齐次方程通解为：Y=C}e2x-^C2e~3x因为非齐次方程y"+y'-6y=3戶=/（兀）由尾项f（x）=3e2x=3e^及斤=一3込=2,2=2为单重根可设非齐次方程的特解为：y*=axe2x则（才）'=°（戶+2x0）,（才）〃=°（2戶+2戶+牡戶）带入非齐次方程，则a（2elx+2戶+4xe2r）+a（戶+2x戶）—6axe"=3戶则5e2V/=3^2x,所以tz=-,即/=-x^2A55则非齐次方程的通解为齐次的通解加非齐次的特解，即：y=y+/=C/X+C2e'3x+-牝"7.求表面积

8、为/而体积为最大的长方体的体积。解：设长方体的长为％、宽为y、高为z则所求体积为V(x,y,z)=xyz应满足条件为2xy+2yz+2xz=a2,即约束条件为:(p{xyy,z)=2xy+2yz+2xz-a2=0由Lagrange乘子法，构造Lagrange辅助函数为：L(x,y,z,2)=V(x,y9z)4-A(p(x,y,z)=xyz+A(2xy+2yz+2xz一a2)将厶(x,y,z,2)分别对.r>yzyz+Q(2y+2z)=0(1)xz+2(2x+2z)=0(2)Ay+/l(2y+2兀)=0(3)2xy+2yz+2xz-a2=0