概率论与数理统计ppt

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1、前面，我们讨论了参数的点估计,它是用样本算得的一个估计值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，这是点估计的一个缺陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.§6.5区间估计16.5.1区间估计的概念定义6.5.1设是总体的一个参数，其参数空间为Θ，x1,x2,…,xn是来自该总体的样本，对给定的一个(0<<1)，若有两个统计量和，若对任意的∈Θ，有（6.5.1）2则称随机区间[]为的置信水平为1-的置信区间，或简称[]是的1-置信区间.和分别称为的（双侧）置信下限和置信上限.这里置信水平1-的含义是指在

2、大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有。3例6.5.1设x1,x2,…,x10是来自N(,2)的样本，则的置信水平为1-的置信区间为其中，、s分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取=0.10，则t0..95(9)=1.8331，上式化为4现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.9513.3716.2912.38由该样本可以算得从而得到的一个区间估计为该区

3、间包含的真值15。现重复这样的方法100次，可以得到100个样本，也就得到100个区间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。5由图6.5.1可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。图6.5.1的置信水平为0.90的置信区间6取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图6.5.2。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。图6.5.2的置信水平为0.50的置信区间7定义6.5.2沿用定义6.5.1的记号，如对给定的(0<<1)，对任意的∈Θ，有（6.5.2）称为的1-同等置信区间。8定义6

4、.5.3若对给定的(0<<1)和任意的∈Θ，有，则称为的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切∈Θ成立，则称为的1-同等置信下限。若对给定的(0<<1)和任意的∈Θ，有,则称为的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切∈Θ成立，则称为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。9构造未知参数的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和的函数G=G(x1,x2,…,xn,)使得G的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的G为枢轴量。2.适当地选

5、择两个常数c,d，使对给定的(0<<1)有P(c≤G≤d)=1-3.假如能将c≤G≤d进行不等式等价变形化为则[，]是的1-同等置信区间。6.5.2枢轴量法10关于置信区间的构造有两点说明：满足置信度要求的c与d通常不唯一。若有可能，应选平均长度达到最短的c与d，这在G的分布为对称分布场合通常容易实现。实际中，选平均长度尽可能短的c与d，这往往很难实现，因此，常这样选择c与d，使得两个尾部概率各为/2，即P(Gd)=/2，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分布为偏态分布场合常采用的方法。11一、已知时的置信区间在这种情况下，枢轴量可选为，c和d应

6、满足P(c≤G≤d)=(d)-(c)=1-，经过不等式变形可得该区间长度为。当d=-c=u1-/2时，d-c达到最小，由此给出了的同等置信区间为[，]。（6.5.8）这是一个以为中心，半径为的对称区间，常将之表示为。6.5.3单个正态总体参数的置信区间12例6.5.3用天平秤某物体的重量9次，得平均值为（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量的0.95置信区间为，从而该物体重量的0.95置信区间为[15.3347，15.4653]。13例6.5.

7、4设总体为正态分布N(,1)，为得到的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？解：由题设条件知的0.95置信区间为其区间长度为，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1-=0.95，故u1-/2=1.96，从而n(5/3)21.962=10.6711。即样本容量至少为11时才能使得的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。14二、