34 随机变量函数的分布.ppt

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1、3.4随机变量函数的分布一、单个随机变量函数的分布一般解法而事件：即：即：所以有其中f(x)

2、一个n维R.V.，是n元波雷尔可测函数，作为上的函数也是R.V.，如果=的联合p.d.f.为，如何求出的p.d.f.呢？同前述同类：然后求导即得.3.和与商的分布定理1（和的分布）：设为二维连续型R.V.，其联合p.d.f.为p(x,y),,则有p.d.f.或注：如果与相互独立，则或【例4】设，求的p.d.f.【解】【注】当与相互独立时，即=0时，一般的，如果，且相互独立，那么.【例5】设与相互独立，，，求的p.d.f..【解】定义2如果R.V.的p.d.f.为.那么称R.V.服从参数为的分布.记为R.V.分

3、布.记为R.V..【例6】设，.且与相互独立，那么.【解】注1：本例说明：分布对第一参数具有可加性：如果，，且相互独立.那么.注2：在中，，,则这是.即.由分布对第一参数具有可加性知：对参数n具有可加性.注3：由前面推导知：，则由分布的可加性知：这里我们用到一个结论：如果相互独立，f(x)为波雷尔可测函数，那么也相互独立.定理2（商的分布）设为二维连续型R.V.，其p.d.f.为p(x,y).那么商的p.d.f.为.【推论】当如果与相互独立时，定义3如果R.V.的p.d.f.为那么称R.V.服从参数为（n,m

4、）的分布，记为n——第一参数，也称为第一自由度或分子自由度.m——第二参数，也称为第二自由度或分母自由度.0yx定义4如果的p.d.f.为那么称服从参数为n的学生氏分布或自由度为n的t—分布.记为.如果记.那么由极限的计算可以证明：0yx【例7】设与相互独立，且，，试求的概率密度函数.【解】【例8】设，，又与相互独立，试求的p.d.f..【解】4.多维R.V.的变换的分布这里只讨论连续型情况：设为n维连续型R.V.，其p.d.f.为,又设，均是上的连续函数，组成一个m维，，，如何求的联合.其一般方法是：先求的

5、联合d.f.G.，归结为计算积分：（*）式中有如下情况：①当m=n=1时，前面已经解决过.②当m=1,n>1时，前面也解决过.③当m=n>1时，这是一类重要的情况，有如下定理：（*）见后定理设连续型随机向量具有联合p.d.f.为，.是到的一个一一映射，如果具有逆变换：连续，且有连续的偏导数，那么的联合p.d.f.为其中G为的值域.【例9】设与相互独立，同具有参数为的指数分布，试求的联合分布密度函数g（u,v）.【解】顺便得出z，y的边际分布密度函数：