随机变量函数的分布.ppt

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1、二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布概率密度函数图形1由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,c+l][a,b],有:P(c≤X≤c+l)2即X落在(a,b)内任何长为l的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.(均匀性)应用场合如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。3解则有实根的概率为例34题设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的分布密度

2、函数为设A表示“对X的观测值大于3的次数”,解即A={X>3}.5因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则6解题2.指数分布78某些元件或设备的寿命服从指数分布.如电话的通话时间服从指数分布.应用与背景分布函数9例4设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布函数为解1011指数分布的重要性质:“无记忆性”.指数分布的这一性质在可靠性理论以及排队论

3、中有着很好的应用。1213若连续型随机变量X的概率密度函数为则称X服从参数为和的正态分布，正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态分布，德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.定义记为X～N(,2).f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中-<<+,>0为常数，3.正态分布所以通常称为高斯分布.由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点.在各种分布中具首要地位14正态分布密度的性质(1)在x=处取到最大值故f(x)以

4、μ为对称轴，令x=μ+c,x=μ-c(c>0),分别代入f(x),可得且f(μ+c)=f(μ-c)f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)x=μσ为f(x)的两个拐点的横坐标.(2)正态分布的密度曲线位于x轴的上方,且关于x=对称，对密度函数求导：=0，(3)密度曲线y=f(x)有拐点即曲线y=f(x)向左右伸展时,越来越贴近x轴.当x→∞时，f(x)→0+,决定了图形中峰的陡峭程度若固定，改变的值，反之亦然，则密度曲线左右整体平移.(4)f(x)以x轴为水平渐近线;正态分布N(,2)的密度函数图形的特点:两头低,中间

5、高,左右对称的“峰”状若固定，改变的值，决定了图形的中心位置决定图形的中心位置;15正态分布的分布函数正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;高考的考试成绩；高度经济学中的股票价格、产品的销量电子元器件的信号噪声、电压、电流；等等，都服从或近似服从正态分布.一般来说，一个随机变量如果是大量相互独立的偶然因素之和，而每个因素的个别影响在总的影响中所起的作用都很微小，那么这个随机变量就会服从或近似服从正态分布。正态分布的应用与背景16标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表

6、示为17标准正态分布的图形18它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.定理1,则~N(0,1)设19证明20书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.（V）、正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时21若~N(0,1)若X～N(0,1),22解例523例6设X~N(1,4),求P(0X1.6)解24题已知且P(2

7、(X<0).解25并求该地区明年8月份降雨量超过250mm的概率.例6某地区8月份降雨量X服从=185mm,=28mm的正态分布，∵X～N(185,282)，写出X的概率密度，解所求概率为P(X>250)=1-P(X250)=1-(2.32)=1-0.9898=0.0102.再看一个应用正态分布的例子上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;可以证明，如果n很大，而p不接近于0或1时，二项分布近似于正态分布.26例7公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.问门高度应如何确定?解设车

8、门高度为hcm,按设计要求应有P(X≥h)≤0.01或P(X