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时间:2019-09-05
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1、3.4随机变量函数的分布一、单个随机变量函数的分布一般解法而事件:即:即:所以有其中f(x)2、一个n维R.V.,是n元波雷尔可测函数,作为上的函数也是R.V.,如果=的联合p.d.f.为,如何求出的p.d.f.呢?同前述同类:然后求导即得.3.和与商的分布定理1(和的分布):设为二维连续型R.V.,其联合p.d.f.为p(x,y),,则有p.d.f.或注:如果与相互独立,则或【例4】设,求的p.d.f.【解】【注】当与相互独立时,即=0时,一般的,如果,且相互独立,那么.【例5】设与相互独立,,,求的p.d.f..【解】定义2如果R.V.的p.d.f.为.那么称R.V.服从参数为的分布.记为R.V.分3、布.记为R.V..【例6】设,.且与相互独立,那么.【解】注1:本例说明:分布对第一参数具有可加性:如果,,且相互独立.那么.注2:在中,,,则这是.即.由分布对第一参数具有可加性知:对参数n具有可加性.注3:由前面推导知:,则由分布的可加性知:这里我们用到一个结论:如果相互独立,f(x)为波雷尔可测函数,那么也相互独立.定理2(商的分布)设为二维连续型R.V.,其p.d.f.为p(x,y).那么商的p.d.f.为.【推论】当如果与相互独立时,定义3如果R.V.的p.d.f.为那么称R.V.服从参数为(n,m4、)的分布,记为n——第一参数,也称为第一自由度或分子自由度.m——第二参数,也称为第二自由度或分母自由度.0yx定义4如果的p.d.f.为那么称服从参数为n的学生氏分布或自由度为n的t—分布.记为.如果记.那么由极限的计算可以证明:0yx【例7】设与相互独立,且,,试求的概率密度函数.【解】【例8】设,,又与相互独立,试求的p.d.f..【解】4.多维R.V.的变换的分布这里只讨论连续型情况:设为n维连续型R.V.,其p.d.f.为,又设,均是上的连续函数,组成一个m维,,,如何求的联合.其一般方法是:先求的5、联合d.f.G.,归结为计算积分:(*)式中有如下情况:①当m=n=1时,前面已经解决过.②当m=1,n>1时,前面也解决过.③当m=n>1时,这是一类重要的情况,有如下定理:(*)见后定理设连续型随机向量具有联合p.d.f.为,.是到的一个一一映射,如果具有逆变换:连续,且有连续的偏导数,那么的联合p.d.f.为其中G为的值域.【例9】设与相互独立,同具有参数为的指数分布,试求的联合分布密度函数g(u,v).【解】顺便得出z,y的边际分布密度函数:
2、一个n维R.V.,是n元波雷尔可测函数,作为上的函数也是R.V.,如果=的联合p.d.f.为,如何求出的p.d.f.呢?同前述同类:然后求导即得.3.和与商的分布定理1(和的分布):设为二维连续型R.V.,其联合p.d.f.为p(x,y),,则有p.d.f.或注:如果与相互独立,则或【例4】设,求的p.d.f.【解】【注】当与相互独立时,即=0时,一般的,如果,且相互独立,那么.【例5】设与相互独立,,,求的p.d.f..【解】定义2如果R.V.的p.d.f.为.那么称R.V.服从参数为的分布.记为R.V.分
3、布.记为R.V..【例6】设,.且与相互独立,那么.【解】注1:本例说明:分布对第一参数具有可加性:如果,,且相互独立.那么.注2:在中,,,则这是.即.由分布对第一参数具有可加性知:对参数n具有可加性.注3:由前面推导知:,则由分布的可加性知:这里我们用到一个结论:如果相互独立,f(x)为波雷尔可测函数,那么也相互独立.定理2(商的分布)设为二维连续型R.V.,其p.d.f.为p(x,y).那么商的p.d.f.为.【推论】当如果与相互独立时,定义3如果R.V.的p.d.f.为那么称R.V.服从参数为(n,m
4、)的分布,记为n——第一参数,也称为第一自由度或分子自由度.m——第二参数,也称为第二自由度或分母自由度.0yx定义4如果的p.d.f.为那么称服从参数为n的学生氏分布或自由度为n的t—分布.记为.如果记.那么由极限的计算可以证明:0yx【例7】设与相互独立,且,,试求的概率密度函数.【解】【例8】设,,又与相互独立,试求的p.d.f..【解】4.多维R.V.的变换的分布这里只讨论连续型情况:设为n维连续型R.V.,其p.d.f.为,又设,均是上的连续函数,组成一个m维,,,如何求的联合.其一般方法是:先求的
5、联合d.f.G.,归结为计算积分:(*)式中有如下情况:①当m=n=1时,前面已经解决过.②当m=1,n>1时,前面也解决过.③当m=n>1时,这是一类重要的情况,有如下定理:(*)见后定理设连续型随机向量具有联合p.d.f.为,.是到的一个一一映射,如果具有逆变换:连续,且有连续的偏导数,那么的联合p.d.f.为其中G为的值域.【例9】设与相互独立,同具有参数为的指数分布,试求的联合分布密度函数g(u,v).【解】顺便得出z,y的边际分布密度函数:
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