中南大学概率论

《中南大学概率论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.f(x)xo0.10.30.6kPK0122.4随机变量的分布函数2.4.1分布函数的概念———

2、——>x一、定义：设X是一个r.v，称为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.问：在上式中，X,x皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)是随机变量X取值不大于x的概率.由定

3、义，对任意实数x1

4、例1，求F(x).当0x<1时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解:当1x<2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1，求F(x).F(x)=P(Xx)解:故注意右连续下面我们从图形上来看一下.概率函数图分布函数图画分布函数图不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).例2随机变量X具有离散均匀分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2

5、,…，n，x(1)x

6、密度函数的可变上限的定积分.若X是连续型随机变量，X～f(x),则F(x)=P(Xx)=～由上式可得，在f(x)的连续点，下面求一个连续型随机变量的分布函数.例3设随机变量X的密度函数为f(x)求F(x).F(x)=P(Xx)=解：求F(x).解：对x<-1，F(x)=0对对x>1，F(x)=1即2.4.2分布函数的性质(1)F(x)非降，即若x1

7、-(3)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数.例4设有函数F(x)解：注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.或者例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.解：设F(x)为X的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>

8、a时，F(x)=1当0xa时，P(0Xx)=kx(k为常数)由于P(0Xa)=1ka=1，k=1/a例5在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数.这就是在区间[0，a]上服从均匀分布的随机变量的分布函数.F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a求F(x).例6设由于f(x)是分段表达的求F(x)时注意分段求.解：=01F(x)对连续型随机变量，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，

9、请看下例.即例7设随机变量X的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3