《中南大学概率论》PPT课件

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1、连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.2.3连续型随机变量的概率分布1.实例:上海市年降雨量的分布由实例启发我们如何描述连续型随机变量.上海市99年年降雨量的数据已知根据这些数据作频率直方图对频率直方图进行考察,使得对任意,有对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),x则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称

2、为概率密度或分布密度.2.连续型随机变量及其密度函数的定义3.概率密度函数的性质1o2o这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则：=f(x)4.对f(x)的进一步理解:要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点

3、密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:由此得，1)对连续型随机变量X,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S由于连续型随机变量唯一被它的密度函数所确定.

4、所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量:离散型随机变量和连续型随机变量能不能对它们给出一种统一的描述方法？这就是后面要介绍的分布函数.f(x)xoxP(x)o对它们分别用概率函数和密度函数描述.（1）均匀分布:若随机变量X的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)5.常见的连续型随机变量密度函数公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算

5、中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；它的实际背景是：随机变量X取值在(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布.例1某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之

6、间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这n个数字画出的频率直方

7、图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.若随机变量X具有概率密度常简记为X~E().（2）指数分布:或称X服从参数为的指数分布,其中:至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量:离散型随机变量和连续型随机变量能不能对它们给出一种统一的描述方法？这就是后面要介绍的分布函数.f(x)xoxP(x)o对它们分别用概率函数和密度函数描述.正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯

8、分布.德莫佛德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.(3)正态分布高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。一、正态分布的定义若随机变量X的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.二、正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”