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《高三数学自选模块柯西不等式教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、选修4_5不等式选讲柯西不等式目的要求：理解二维形式柯四不等式及其结构背景，在了解二维形式柯西不等式结构特点基础上，会用二、三维柯西不等式进行简单的证明与求一类函数最值。重点难点：重点：用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值；难点：柯西不等式的结构与应用背景；背景变化下的“正反”灵活应用。教学方法：观察分析，启发变式，题组练习。教学流程：复习引入一了解结构一典例分析一变式引申一小结推广一巩固提高。教学过程：一、复习引入，看清结构在上节初步了解柯西不等式基础上，本节将进一步分析研讨柯西不等式的应用，看
2、到柯西不等式是进一步学习数学或解题的重要工具。1、复习柯西不等式：给出二维形式定理：(柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数，则(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,其中等号当且仅当ad=be时成立。(1)推广形式：设a,b,c,d均为实数，贝ij：yja2+b2^c2-^d2>
3、ac+bd
4、；/a2+/?2•a/c2+J2>6zej+
5、/?^/
6、；其屮筹号当且仅当ad=be时成立。教师提问：柯西不等式的代数形式中两边不等式结构各有什么特点？你能用自己的语言叙述？(2)结构特点：
7、左边是a,b,c,d字母的“方和积”，右边是字母对应的“积和方”;柯西不等式的语言叙述：“方和积”不小于“积和方”应用时是看“方和积”还是“积和方”？依具体问题而定。二、观察典例，变式应用2,2例1、已知求证：—+一>a+b；ba分析：从题目结论看，没有出现“方和积”，因此，左边要构造出一个“方和积”;+］只有乘以？可得到a+b.知？=(爸尸+(需尸。•••吩y/221）2][（丽）2+（需）2]n（a+/7）2,即：a+b>a+b.aba教师提问：等号何时成立?例2已知x,yeR且a,b〉O,求证
8、：a•兀？+2by?、十=')"2a+b分析：原不等式通过“变形、重组”有：(2a+b)(a-x2+2by2)>ab^x+2y)2；即：(2q+Z?)(a・Q+2莎2)2(兀*2刃2,亦:(1+2)(^.x2+2by2)>(x+2y)2；abab而它满足柯西不等式，所以原不等式得证。114练习：若a>b>c,求证：+>a-bb-ca-c分析：从题ri结论看不能直接使用柯西不等式，因此，改造(结构)后才可使用柯西不等式。・・・待证不等式改写为：⑺—c)(—!—+—!—)n4a-bb-c注意到：a-c=
9、(a-b)+(b-c)又从题冃条件看・・・a>c・・・a-c>0即证：[(a—b)+@—c)](^^+—a-bb-c由柯西不等式：[(d—b)+(b—c)](——+——)>(1+1)2=4oa-bb-c证明：(a—c)(亠+亠)=[(a—b)+(b—c)](亠+丄)>(1+1)2=4a-bb-ca-bb-c114.•-+>a-bb-ca-c推论：⑷,。2，勺,勺，/卩乞都是实数，则柯西不等式三维形式可写出？(dj+a：+d)(/?
10、**+bj+bj)n(dpi+a?人+Q03)°；其它推论：(a+
11、〃)(丄+丄)>4=(1+1)2；其中a、beR+ab(a+b+c)(丄+丄+丄)9=(1+1+1)2；其中a、b、ceR+0abc例3、已知：兀+y+z=l,求x2+y2+z2的最小值。分析：易由上其它推论得证，注意1的使用。变式1：己知：x+y+z=I,求x2+4y2+9z2的最小值；变式2：已知：兀+y+z=l,求Jx+1+Jy+l+Jz+l的最大值；419变式3：当x,y,zg7?+时，已知：x+y+z=10,求一+—+—的最小值。xyzI23变式4：设x,y,zeR'，且兀+2y+3z=
12、36,求一+—+-的最小值.三、小结推广，明确结构1、(柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数，贝IJ：(1)(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,其中等号当且仅当-=-吋成立。c(1结构特点：i)左边是“方和积”，右边是对应“积和方”；ii)“方和积”不小于“积和方”；iii)应用时是看“方和积”还是“积和方”由问题决定。(1)推广形式：设a,b,c,d均为实数，贝I」：^a2+b2-ylc2+d2>”c+/?d
13、；(2)一般形式：袞?.£矿》£(务•仇尸；“方和积”不小于“积和
14、方”;/=lJ=11=1其它推论：(«+/?)(丄+丄)》4=(1+1)2:其中a、bwR，ab(o+b+c)(丄+丄+丄)》9=(1+1+1)2；其屮°、b、ce/?+oabc四、题组练习，巩固提高1、求函数y=5>/rn+V10-2x的最人值；分析：从结构看，是否倒川柯西不等式？同时分清a,b,c,d；注意等号成立的条件。解：函数定义域为[1,5],且y>0.y=5'yfx~—+>/2•yj5—xWJ52+2•J(Jx+(J5-xF=6>/3。当且仅当JL=B
15、
