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1、2014年第1期中学数学教学25高考自选模块柯西不等式常见题型解法例说浙江省奉化中学陈晴(邮编:315500)nnn(y+2)2(z-3)22·∑22是重柯西不等式∑aibi≥(∑aibi)+=1求x+y+z的最大值与i=1i=1i=154要的基本不等式,是推证其它许多不等式的基最小值.础,不仅形式优美,而且还具有非常重要的应用解由柯西不等式得价值.它原先只是在数学竞赛中出现,但在2003éx-12y+22年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不[42+(5)2+22]ê()+()ê4ë5等式选讲》里,已经加进了柯西不等式,也就是说2z-32ùéêæçx-1ö÷y+
2、2æçz-3ö÷ùú它将成为选修学生的日常教学要求.用柯西不等+()úú≥ê4·+5+2·2ú,2ûëè4ø5èøû式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了,即25×1≥(x+y+z-2)2,即5≥
3、x+y但求解时灵活性较大,技巧性较强.其中一些常+z-2
4、,从而-5≤x+y+z-2≤5.见的问题,其解决策略往往与其呈现方式直接相故-3≤x+y+z≤7.关.笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型即x+y+z之最大值为7,最小值为-3.进行分类,例析对应的解决策略.评注这类题型的最大特征就是条件与结三维的柯西不等式(a222)(b221+a2+a31+b2+论中分别出现了一
5、次式与两次式,而要实现一次2)≥(a)2揭示了任意两组实b31b1+a2b2+a3b3与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的数组即(a1,a2,a3)、(b1,b2,b3)的平方和之积与形态进行构造,让其中一个数组为常数组.对应积之和的平方的大小关系.应用时我们要解2整式与分式决的核心问题就是如何通过变换不等式,向柯西(1)两组数组对应的数分别为倒数型不等式“逼近”,构造出不等式所需要的两组数组例4(2012年福建高考试题)已知函数(a,a,a)、(b,b,b),这也是运用柯西不等123123f(x)=m-
6、x-2
7、,m∈R且f(x+2)≥0的式解题的基本策略.解集为[
8、-1,1].1一次式与二次式(i)求m的值;例1(2013年湖南高考试题)已知a、b、c∈111R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值(ii)若a、b、c∈R且++=m,求证:a2b3c为.a+2b+3c≥9.解a+2b+3c=6,由柯西不等式得(a2+解(i)f(x+2)=m-
9、x
10、,f(x+2)≥022)(1222)≥(a+2b+3c)2,可知4b+9c+1+1等价于
11、x
12、≤m,由
13、x
14、≤m有解,得m≥0且22236其解集为{x
15、-m≤x≤m}.a+4b+9c≥=12,即最小值为12.3又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.例2设x、y、z
16、∈R,且满足x222+y+z=1115,则x+2y+3z之最大值为.(ii)由(i)知++=1,又a、b、c∈R,a2b3c解因为(x+2y+3z)222≤(x+y+由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+2)(1222)=70,z+2+3æ111ö3)ç++÷≥所以x+2y+3z的最大值为70.èa2b3cø2(x-1)2æ111ö例3设x、y、z∈R且+ça·+2b·+3c·÷=9.16èa2b3cø26中学数学教学2014年第1期评注这类题型从结构来讲,两组数组分别3无理式与有理式是整式类型(a1,a2,a3)与分式类型例7已知x+y+z=19,求证:x2+4+æ
17、pqrö22ç,,÷(其中p、q、r为常数),其实属于“对y+9+z+16≥442.èa1a2a3ø证法1设u=x22勾函数”的范畴,运用均值不等式也能完成,但不+4+y+9+222如柯西不等式简洁、方便.z+16,则有x+4·1+a≥x+2a,(2)分式中分子的次数高于分母型y2+9·1+a2≥y+3a,例5(2009年浙江高考试题)已知正数x、22z+16·1+a≥z+4a,22xy即1+a2·u≥19+9a.y、z,x+y+z=1.求证:++y+2zz+2x2234z1当且仅当x=,y=,z=,又由x+y+≥.aaax+2y39证法1利用柯西不等式,有z=1,可得a
18、=.故u≥442.19222æxyzöç++÷[(y+2z)+(z+证法2
19、n1
20、+
21、n2
22、+
23、n3
24、≥
25、n1+n2+èy+2zz+2xx+2yø2n3
26、.2x)+(x+2y)]≥(x+y+z).可令n1=(x,2),n2=(y,3),n3=(z,4),证法2利用均值不等式得22x212则左式≥(x+y+z)+(2+3+4)=即证:+(y+2z)≥x;y+2z93192+92=442.2y1(y+2z)≥2评注有理和无理是一对矛盾的统一体,它同理:+y;z+2x93们既是对立的,又是统一的,因此在一定的条件2z12n+(x+2
