§2-5相对位置

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1、§2—5直线与平面以及两平面的相对位置sfabvuFBcSVUACBKkHh一、相交二、平行三、垂直返回一、相交直线与平面以及两平面之间的相对位置，除了直线位于平面上或两平面位于同一平面上的特例外，只可能相交或平行。垂直是相交的特例。直线与平面的交点是直线和平面的共有点；两平面的交线是两平面的共有直线。返回sfabvuSVUFABb'a'bu'f'sfaX0vuv's'[例]如图已知直线AB和铅垂的STUV的两面投影，求作交点K。k'K21(一)特殊情况当直线或平面垂直于投影面时，在它所垂直的投影面上的投影有积聚性。kk返回sfabvuFBcSVUACBs'a'c'v'f

2、'b'sfvuacbu'XO[例]如图已知△ABC和铅垂的□STUV的两面投影求作交线KL，并表明这两个平面图形在正面投影重合处的可见性。khk'h'KkHh21返回aedcbX0a´e´d´b´c´如图，已知正垂线DE和△ABC的两面投影，求作交点K，并表明de在△abc内的可见性(在未判定前用双点划线表示)．f'kf返回aedcbX0a´e´d´b´c´PH(二)一般情况[例]求作直线DE与一般位置的△ABC的交点M，以及判断直线DE的投影的可见性。通过直线DE作投影面H的垂直面P为辅助平面，求出△ABC与辅助平面P的交线KL，k'l'm'm直线DE与KL都在辅助平面

3、P上，它们的交点就是DE与△ABC的交点M。kl12返回X0[例]求作两个一般位置的平面图形的交线，以及判断这两个平面图形的群重合处的可见性。交线的两个端点，分别是一个平面图形上的两条边直线与另一平面图形的两个交点。现在按前例同样的方法分别作出这两个交点。2121返回二、平行平面外一直线与这个平面相平行的几何条件是：该直线平行于平面上的任何一条直线。两平面互相平行的几何条件是：一个平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。PCDBAQKHEFMNAB//CD，KH//CD，MN//EF，则Q//P。则AB//P；返回(一)特殊情况当直线与垂直于投影面的平面相平

4、行时，直线的投影平行于平面的有积聚性的同面投影，或者，直线、平面在同一投影面上的投影都有积聚性。过点A作正垂平面P//BC以及平面Q//□DEFGPHPVQHQV返回aedcba´e´d´b´c´X0[例1]判断直线DE是否平行于△ABC?[解]只要检验是否能在△ABC上作出一条直线平行于DE．(二)一般情况f'f作a'f'//d'e'检验af//de返回aedcbX0a´e´d´b´[例2]已知DE//△ABC，补全其正面投影。c'f'f作af//de返回n'cb0b´c´m'g'd'nmgdX[例3]如图．已知等腰△DEF的顶点D和一腰DE在水平线DG上，另一腰DF/

5、/△ABC，点F在直线MN上，完成△DEF的两面投影。用三角形法作DF的真长[解]DF一定在过D点的平行于△ABC的平面上，先作出这个平面。DF的真长e'ePVkhh'k'ff'返回三、垂直该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线。直线与平面相垂直的几何条件是：一个平面上有一条直线垂直于另一平面。两平面互相垂直的几何条件是:Q1PBACDEFABDC、ABEF，则ABP.ABQ1，则Q1P.Q2MN若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。返回HH(一)特殊情况当直线与垂直于投影面的平面相垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面，而且直线的投影垂直

6、于平面的有积聚性的同面投影。sfvuSVUFABab当平面与投影面垂直线相垂直时，平面一定平行于该直线所垂直的投影面。ABa(b)返回aedcbX0a´b´(e´)c'(d´)[例1]如图所示，过点A向□BCDE作垂线AF，并作出垂足F以及点A与□BCDE的真实距离。[解]过一点向一个平面只能作一条垂线．由于□BCDE是正垂面，按直线与垂直于投影面的平面相垂直以及直线与垂直于投影面的平面相交的投影特性可知：AF是正平线。f'fa´f´即是AF的真实距离返回gefX0e´d´g´f'(二)一般情况如图，已知DG△DEF，在△DEF上取正平线DM和水平线DN，则DGDM，

7、DGDN。直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的正面投影，垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影，垂直于这个平面上的水平线的水平投影；直线的侧面投影，垂直于这个平面上的侧平线的侧面投影。n'nm'm根据一边平行于投影面的直角的投影特性可知：g'd'd'm'dgdn返回aedcbX0a´e´d´b´fgf´g´c´[例2]如图所示，判断‒ABCD与△EFG是否互相垂直?[解]只要检验是否能在‒ABCD上作出一条直线垂直于△EFG。m'mn'nk'k作b'k'垂直于e'm'检验bk垂直于en返回afdceX0