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1、一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：y=kx+b伙H0)二次函数：y=ax2+bx--c(aH0)反比例函数：y=±("0)正比例函数：y=kx伙工0)x2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。例1、(2001上海)设函数f(x)=2贝朋足/(x)=丄的x[log81X,XG(l,+oo)4的值为O解:当XG(-oo,l]时，由+得，X=2,与兀S1矛盾；当xe(1,+°°)时，由lo
2、g/无二一得，x=3o・：x=343、复合式若y是u的函数,u又是x的函数,BPy=f(u),u=g(x),xe(a.b),那么y关于X的函数y=f[g(x)xe(a,b)叫做f和g的复合函数。例2、已知/(x)=2x+l,g(x)=x2+3,则f[g(x)]=,g[/(x)]=。解：f[g(x)]=2g(x)+1=2(x2+3)+1=2兀2+7g[fM]=[f(x)Y+3=(2x+l)2+3=4x2+4x+4二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。1待定系数法
3、若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。例3、已知二次函数y=/(x)满足/(%-2)=/(-%-2),且图象在y轴上的截距为1,被兀轴截得的线段长为2应，求函数j=/(x)的解析式。分析：二次函数的解析式有三种形式：①一般式：/(x)=ax2--bx--c(dH0)②顶点式：/⑴丁心+疔+比其中心0,点(从)为函数的顶点③双根式：f(x)=a(x-x^(x-x2)其中a/0,x)与兀?是方程/*(兀)=0的两根解法1：设/(x)=ax2+&x+c(qHO),贝I」由y轴上的截
4、距为1知：/(0)=1,即c二1①/./(x)=ax2+&x4-1由/(x-2)=/(-x-2)知J:6Z(x-2)2+b(x—2)+1—ci(—x-2尸+h{—x—2)+1整理得：(4a-h)x=0f即：4a-b=0②由被X轴截得的线段长为2^2知，I兀1一兀21=2迈,即(%j-x2)2=(Xj+x2)2-4xjX2=8.得：(-—)2-4—=8・"~~aa整理得：b2-4a=Sa2③由②③得：a=—,b=2,.If(x)=—x2+2x+1.22解法2：由/(x-2)=/(-x-2)二次函数对称轴为x=-2,所以设/(
5、x)=a(x+2)2+R(°工0)；以F从略。解法3：由.f(x-2)=.f(-x-2)知：二次函数对称轴为x=-2；由被兀轴截得的线段长为2血知,IX]-x21=2V2；易知函数与兀轴的两父点为(―2—V2,0),(-2+a/2,0),所以设/(x)=6Z(x+2+72)(x+2-V2)(dHO),以下从略。2、换元法例4、已知：f(i+丄)=丄_1,求y(x)oXX解：设t=14-—，贝iJfHl,X=—^—,代入已知得xt-1/(r)=—-^-r-l=a-l)2-l=r2-2rAf(x)=x2-2x(x/1)注意：使
6、用换元法要注意r的范围限制，这是一个极易忽略的地方。3、配凑法例5、已知：/(兀+丄求f⑴。xx~'解：/(%+丄)=/+—=(兀+丄)2_2■・.f(x)=x2-2(x>2^x<-2)XJC兀注意：1、使用配凑法也耍注意h变量的范围限制；2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式,则也能用配凑法求解析式。4、丈值(式)法例6、已知函数于(兀)对于一切实数x,y都有/(%+刃一/(刃=(兀+2y+l)x成立，且/(l)=0o⑴求/(0)的值；⑵求/⑴的解析式。解:(1)取x=l,y=O,贝IJ有/(1一0
7、)—/(0)=(1+0+1)1»(0)=/(1)_2=0_2=—2(2)取y=0,贝IJ有/(兀一0)—/(0)=(兀+0+1)兀。整理得：/(x)=x2+x+25、方程法1例7、已知:2f(x)+f-=3兀，(兀工0),求/(x)o匕丿<1A解：已知：2f(x)+f—=3x,①1兀丿113用丄去代换①中的兀得：2/(-)+f(x)=-②XXX由①X2-②得：/（x）=2x-丄（兀H0）・练习2"—1,x<01、(2003新课标)设函数fM=1,若/(%0)>1,则兀。的取x2,%>0值范围是（)A.(—1,1)B.(—l
8、,+oo)C.(—2)u(0,+<»)D.(-8,-l)u(l,+8)2x+3,x<02、(1998±海)函数v=Jx+3,01/(x+1)=x2+2x,求/(兀)。/(力为二次函数，H/(x+1)+/(x-1)=2x2-4x,求/(%)<>
