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1、1.3正弦定理、余弦定理的应用(2)江苏省靖江高级中学刘红霞教学目标：1.能够运用止弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求冇关的实际问题.2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.教学重点：正弦定理、余弦定理等知识和方•法在计算、最值探求等方面的应用.教学难点：正弦定理、余弦定理等知识和方•法在计算、最值探求等方而的应用.教学方法：讲练结合.教学过程：一、复习引入（一）主要知识：1.正弦定理：二丄=」一=2/?・sinAsinBsinC.b2+c2-a2cosA=2bcD
2、a2+c2-b2cosB=—cosC=—2.余弦定理：1a2=b2+c2一2方ccosA,b2=a2+c2-2accosB,=>4,•B+C
3、AB+C•Asin=cos—,cos=sin—2222（二）总结解斜三角形的要求和常用方法：1.利用正•弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和你2.应用余弦定理解以下两类三角形问题：①己知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角.二、问题情境利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都冇非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用•如果我
4、们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要捉高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力•下面，我们将举例來说明解斜三角形在实际中的一些应用.三、数学运用1・例题.例1.如图1-3-4,半圆0的直径为2,A为直径延长线上的一点，0A=2fB为半
5、员
6、上任意一点，以4B为-边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大?学生活动：问题1：四边形怎么产生的呢？生：0A是定的，B动血积变.师：是的，四边形的面积由点B的位置唯一•确定，而点B出ZAOB唯一•确定.问题2：如何求该四
7、边形的面积？生：S=S师：选什么作为自变量呢？生：四边形OACB的面积随着a(ZAOB)的变化而变化，可设乙40B=a,再用©的三角函数來表示四边形OACB的面积.解设ZAOB=a.在AAOB屮，由余弦定理，得AB2=F+2?—2x1x2cosg=5—4cosq.于是，四边形OACB的面积为S=S^oB+Swc=^OA-OBsma+^-AB2]yf35=—x2xlxsin(7+——(5-4cos6r)=sin6Z-a/3cos(7+—V324v74因为0<5,所以％-彳誇吋，_
8、龙，即ZAOB=
9、龙吋,四边形OACB的面积最大.小结：将四边形O4
10、C3的面积表示成。的函数，利用三角函数的有界性求出四边形04CB而积的最大值.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和止弦公式：例2如图，有两条相交成6(/角的直线XX'、YY交点是0,甲、乙分别在OX、0丫上，起初甲离0点3千米，乙离0点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX’方向，乙沿厂丫方向步行，(1)起初两人的距离是多少？q/Y(2.)用包含f的式了表示/小时后两人的距离；/E7-X7'To(3)什么时候两人的距离最短？解(1)设甲、乙两人起初的位置是A,B,则AB2=0A当f>一时，P02=(4/一3)2+(1+4/)2_2
11、(4/-3)(1+40cos120°=48t2—24f+7,+0B2—20A•OBcos60°=32+l-2x3xlx-=7,2/.AB=V7km.・・.起初两人的距离是"km.师：如何表示f小时后两人的距离呢？生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变.(2)设甲、乙两人r小吋后的位置分别是P、Q,则AP=4t,BQ=4r,当05/5°时，pq2=(3-4t)所以，PQ=y/48t2-24t+7km.(3)PQ2=4&2-24r+7=48(/--)2+4,・••当/=丄时,即在第15分钟末,44PQ最短.・+(1+4/尸一2(3-4
12、r)(l+4/)cos60=48r2-24r+7;42.练习：如图，已知ZA为定角，P,Q分别在厶的两边上，P0为定长.当P,Q位于什么
