3.2一阶系统的时域分析

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1、3.2一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。实际控制系统中一阶系统不乏其例。下面分析一阶系统对单位阶跃函数、单位脉冲函数、单位斜坡函数、单位加速度函数的响应。在分析过程中，设初始条件等于零。3.2.1一阶系统的数学模型(3-2)RCdc(t)_十c(°=r(z)dt式中c⑴为电路输出电压，I•⑴为电路输入电压。令T=RC,则一阶系统运动方程具有如下一般形式T-^+c(r)=r(r)(3-3)dt式(3・3)是一阶系统的一般表达式，式屮T为时间常数，r(t)和c⑴分别是系统的输入、输岀信号。若图3・3滤波电路的初始条件为零，一阶系统的传

2、递函数为(1)(5)=-^=—!—(3-4)R(s)Ts+1其方框图如图3-4或图3-5所示。处)小1C(5)R(s)1C⑸7]J7J►7s+l►图3-4一阶系统图3-5单位反馈一阶系统下面就一阶系统对某些典型输入信号的响应进行分析，在分析过程中，设初始条件为零。此外，不同的系统如果传递函数相同，则对同一输入信号的响应也是相同的，只是不同系统响应的数学表达式具有不同的物理意义。3.2.2一阶系统的单位阶跃响应输入信号r(t)=l(t)时，系统响应c⑴为单位阶跃响应。将输入信号的拉氏变换R(s)=1/5代入式(3-4),得C(s)=0>G)R(s)=丄(3

3、-5)7X+1s对式(3-5)进行拉氏反变换，得一阶系统的单位阶跃响应为c(t)=-e~t/T(t^O)(3-6)由式(3-6)可以看出，一阶系统单位阶跃响应的初始值为零，终值为1。根据式(3-6)绘出的响应曲线如图3・6所示，其响应为非周期曲线，具有如下两个特点：(1)当时间t等于时间常数T的整数倍，即匸T,2T,3T,4T时，响应c(t)的数值分别为总变化量的0.632、0.865>0.95、0.982倍，根据这个特点可以判断系统是否为一阶系统。(2)初始时间匸0时，系统具有最大的运动变化率I/T,因为dc(t)_1“T_1~W=Te^=T°如果系

4、统始终保持初始速度不变，在t=T时，输出量即可达到稳定值。然而响应曲线c(t)的响应速度是单调下降的，即从匸0时的1/T下降到匸co时的零。由于输出响应达到稳态值需要无限长的时间，所以响应曲线通常以达到稳定值的5%的误差范I韦

5、,作为评价响应曲线的标准。按照动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为td=0.69T,tr=2.20T,ts=3T,峰值时间ip和超调暈。％不存在。T值的大小反映系统的惯性。T值小，惯性就小，响应速度快；T值大，惯性就大，响应速度慢。这一结论也适用于一阶系统以外的其它系统。S0.865=l-e^1IT2T3T4Tt图3-6一

6、阶系统单位阶師响应曲线3.2.3一阶系统的单位脉冲响应输入信号r(t)=6(t)时，系统响应c⑴为单位脉冲响应。由于理想单位脉冲函数的拉氏变换为1,所以单位脉冲响应的拉氏变换与系统的传递函数相同。图3.4所示一阶系统的输出为C(5)=O(5)/?(5)=—^―7，Ts+英单位脉冲响应为(t^O)(3-7)-阶系统的单位脉冲响应曲线如图3・7所示。显然，响应曲线为单调下降指数曲线，且在初始吋刻匸0时，响应幅值为最大值1/T；导数，可以求出响应曲线斜率dc(e)~dT/too吋，幅值衰减到零。对式(3-7)求一阶(3-8)严/=coOodc(r)dt一阶系

7、统单位脉冲响应的调节吋I'可按指数曲线衰减到初值的5%求取，得ts=3To而且吋间常数小的系统，响应速度好。零初始条件吋，一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间的动态过程相同，这也适用于其它各阶线性定常系统。因此测出系统的单位脉冲响应，就可以得到系统的闭环传递函数。由于理想单位脉冲函数是无法获取的，故而往往以脉宽为h、幅值有限的脉动函数代替理想单位脉冲函数，且要求脉宽h<0.1To图3・7—阶系统单位脉冲响应曲线3.2.4一阶系统的单位斜坡响应输入信号r(t)二t时,系统响应c(t)为单位斜坡响应。因为R(s)=/s2,图3.4所示系统的输出为(3-

8、9)C(沪…需•占英单位斜坡响应为c(t)二t-T+Te"(tMO)(3-10)式(3-10)中的(t-T)为稳态分量，Te"为瞬态分量。稳态分量与斜坡输入函数的斜率相同，但在吋间上滞后一个T值，所以存在位置误差，误差值即吋间常数T；瞬态分量则随吋间单调衰减。图3・8为一阶系统的单位斜坡响应曲线。t图3・8—阶系统单位斜坡响应曲线由图3-8可以看出，系统的输出量和输入量之间的位置误差随吋间推移逐渐增大，但最后趋于常值T。系统的惯性越小，位置误差越小，跟踪准确度就越高。在匸0吋，初始斜率为零，即£“-o’所以初始状态吋输出速度和输入速度之问误差最大。3.2

9、.5一阶系统的单位加速度响应输入信号r(t)=V/2时，系统响应c(t)为单位加