一阶电路动态过程的时域分析

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1、一阶电路动态过程的时域分析1、典型一阶电路一阶电路仅包含一个动态元件，若将动态元件分离出来，则由戴维南或诺顿定理可得到如下两种典型一阶电路：注意：图中N是线性含源单口网络。2、一阶电路的电路方程及其一般形式ü一阶RC电路：①关于uC的电路方程：②关于iC的电路方程：③关于uR的电路方程：ü一阶RL电路①关于iL的电路方程：②关于uL的电路方程：③关于uR的电路方程：ü一阶电路方程的一般形式从上可知，一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程。并且，若记电路的激励为x(t)，响应为y(t)，则一阶电路方程一般形如：式中，t因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数(ti

2、meconstant)。并且，对于一阶RC电路，对于一阶RL电路，3、常系数一阶微分方程的经典时域解法对于常系数一阶微分方程，其解(即电路的响应)由通解和特解两部分构成。通解：是对应齐次方程的解，与激励无关，称为电路的自由响应。式中，A为待定积分系数，可根据初始条件来确定。特解：与电路激励x(t)有关，x(t)不同，特解形式就不同。因此特解也称为强制响应。在高等数学中，特解一般可以采用常数变异法求得，即：令非齐次微分方程的解为，求出后代入原微分方程，得到m(t)：所以，常系数一阶微分方程的解为4、直流激励下的一阶电路时域分析同时考虑电路的外部激励和动态元件的初始储

3、能，直流一阶电路的响应存在以下3种情况：①零输入响应(Zero-inputresponse)：无外部激励(x(t)=0)但动态元件有初始储能时，仅由初始储能引起的电路响应。例如，一阶RC电路的零输入响应又如，一阶RL电路的零输入响应分析及结论：无论一阶RC还是一阶RL，也无论电路的响应是何变量，一阶电路的零输入响应都具有如下特点：ü所有变量的零输入响应与其初始值成正比。ü同一电路，所有变量的零输入响应按同一指数规律衰减，并最终必衰减至0。ü所有变量零输入响应的衰减快慢取决于电路的时间常数t，或者说，一阶电路过渡过程时间的长短取决于电路的时间常数t。并且，t大→过渡

4、过程时间长；t小→过渡过程时间短。ü因为所以，t是响应衰减到原来电压36.8%所需的时间。并且工程上可以认为，经过3t－5t,过渡过程即可结束。ü另外，可以证明，t等于响应衰减指数曲线的次切距长。②零状态响应(Zero-stateresponse)：有外部激励(x(t)≠0)但动态元件无初始储能时，仅由外部激励引起的电路响应。例如，一阶RC电路直流激励下的零状态响应又如，一阶RL电路直流激励下的零状态响应分析及结论：ü一阶动态电路的零状态响应由稳态(强制)和暂态(自由)两部分构成。ü同一电路，不同变量的零状态响应中的暂态分量按同一指数规律衰减，并且衰减快慢取决于电

5、路的时间常数t。üt越大,响应变化越慢，否则响应变化越快。③全响应(completeresponse)：既有外部激励(x(t)≠0)，也有动态元件初始储能时，由两者共同作用引起的电路响应。注1：上述一阶电路的全响应是从微分方程解结构角度进行分解的。除此以外，一阶电路的全响应还可以按激励与响应间的因果关系进行如下分解：例如，因此，零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。注2：若定义时间常数t、响应初值y(0+)和响应稳态值y(∞)为一阶电路的三要素，则一阶电路的全响应可直接根据以上公式得到。这种求解全响应的方法称为三要素解法。并且，三要素法的一般步骤为：ü除去动态元

6、件，求取所得网络的等效电阻R，并计算动态电路的时间常数t：ü利用换路定则及0+等效电路，求取响应初值y(0+);ü根据换路并稳定后的电路，求取响应的稳态值y(∞)；ü按三要素法公式，写出全响应的表达式。例1：(零输入响应问题)：1)t=0时，打开开关S，求uV。2)若电压表量程为50V，试判断其是否会被损坏。3)讨论电路的改进措施。例2(零状态响应问题)：t=0开关K打开，求t>0后iL、uL及电流源的电压。例3(全响应问题)：已知t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)。5、正弦激励下一阶电路的时域分析电路方程仍为常系数一阶微分方程：，故时，根据初始条件可求得

7、于是，正弦激励下一阶动态电路的响应为：若记，则正弦激励下，一阶电路的响应可改写为：显然，正弦激励下一阶动态电路的响应仍可利用三要素法求解。唯一不同的是，在响应的自由分量中，需要使用。此外，需要注意的是，此处与利用后面正弦稳态电路相量分析所得结果是一致的。6、分段直流激励一阶动态电路的时域分析分段直流激励，通常包括下列情况：1)直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关；2)一阶电路本身激励电源的输出是分段直流函数。对于分段直流激励一阶动态电路的时域分析，一般采用子区间划分法进行。即先按照激励的情况，从时间上将激励分成几个区间，然后用三要素求解法分别求解电路的响应。例

8、1：已知电