函数的值域(最值)和零点

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1、第04讲：函数的值域(最值)与零点【复习要求】1、掌握函数值域和函数最值的常见类型的求法。2、掌握解决零点个数的相关方法。【复习重点】1、函数值域和函数最值的常见类型的求法；2、数形结合解决零点问题；【复习难点】1、函数值域和函数最值的常见类型的求法；2、数形结合解决零点问题；【知识梳理】1.设函数y=f(x)的定义域为D,贝y=/(x),叫做函数的值域。2.设函数y=f(x)在处的函数值是/(%0),如果对定义域内的任意x,都有w兀0)，那么/(兀0)叫做函数y=/(x)的最小值;如果对定义域内的任意X,都有/(x

2、)

3、利用基本函数的性质；利用函数在相应区间上的单调性，由于最值是对函数的总体而言，若需对问题分段讨论，最后必须比较，整合。(6)利用基本不等式：利用基本不等式求函数最值吋，一定要注意满足“一正，二定，三相等”的原则；(7)*导数法：等等。4.常见函数值域或最值：①一次函数：y=d+重点看利用单调性解决；②二次函数：y=ar+bx+c(a^0)重点看d、对称轴与定义域的位置关系(配方法),利用单调性解决；③分式函数：az】cid.aaj—(ex+«)+bb>i(1)最简分式函数:ax^b_cc_ac_abe—ad==—

4、=

5、—+cx+dcx+dccx+dcc(cx+d)再利用反比例函数图象或单调性解决(也可用反函数法)；变形:sin^-1_ex-1_x2+x-1sin&+l'>ex+1x2+x+l(2)耐克函数：y=x+-(a>Q)重点看a,即图象顶点与定义域的位置关系，再利用反X比例函数图象或单调性解决；cue+hx+c变形：形如：y=的函数可以利用分子配方成分母dx+e的形式，从而转化成dx+e类耐克函数形式，利用耐克函数性质解决；dx+p(3)形如：y二即在(2)形式取倒，利用同(2)法化成类耐克函数(或axr+bx+cb'y=a

6、tx—^cWb'<0)形式，此情况理科生要求掌握)的倒数形式，而后利用复合函X数形式解决；-LZiV-L(4)形如：y=—常用判别式法(一般△<0才适用)或者分离整数法(把其转化上面“(3)+常数"的形式)；④形如y=/(*)+Jg(x)的函数(.f(兀)是常数或一次式，g(x)是兀的一次或二次式)，常用换元法(代数或三角换元)或平方法；1.零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点；函数y=f(x)的零点就是方程/(%)=0的实根，也就是说函数y=f(x)的图象与x轴的交点

7、的横坐标，所以：方程/(%)=0有实根u>函数y=/(x)的图象与x轴有交点u*函数y=/(兀)有零点函数y=/(兀)的零点就是方程/(x)=0的实根，因此，函数的零点与方程的根是一一对应。2.二分法：一般的如果函数y二/(兀)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(ayf(b)<0,那么函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点，即存在xe(a.b),使得/(c)=0,这个c就是方程/(%)=0的实根；通常每次把y=f(x)的零点所在的小区间(a,b)收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点

8、，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；【典型例题】类型7、一次函数值域问题例1、解决值域：(1)y=2兀+1,(兀w{1,2,3,4,5})(2)y=3x+2(-1

9、.耐克函数及其他分式函数值域问题例4、求下列各函数的值域：2(1)y=x+—x(2)y=x+—(xe[2,41)(3)2x2-x+l2x—1(兀冷)(4)2x—1y=2%2—x+1/e、JC—5兀+6(5)x+x+6—5x+6(6)丁x2+x-6(6)(7)a/x+1x+2x2+X-1+X+12片2+bx+C变式练习:已知函数/(%)=—；0<