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1、二次函数与幕函数•、常用幕函数的图象与性质弋数特征y=x2y=^3y=x1图彖V/T第£7T定义域RRR{x心0}{%xHO}值域R{y心0}R{y
2、Q0}{yy^O}奇偶性壹僵童非奇非偶童单调性塑(一8,0］减(0,+g)增壇壇(一8,°)和(0,+°°)减公共点(1,1)二、二次函数1.二次函数的定义形如f(x)=ax+bx+c{a^)的函数叫做二次函数.2.二次函数解析式的三种形式(1)一-般式：=/+(臼HO)；(2)顶点式：f{x)=日匕一刃尸+水吕工。)；(3)零点式：=曰(/—為)匕―匕)(日H0).3•一.次函数的图象和性
3、质日>0a<0图象图象特点①刘称轴：X—2”；②顶点：(b4日q—12/%丿性质定义域值域\ac~6呵仙，+8(ac—lT\aJ奇偶性方=0时为偶函数，方H0时既非奇函数也非偶函数/W_8,单调性一訝时递减’圧一£,+8时递增(-8,一箱吋递增，b~a+°°时递减1.若玖方既是幕函数乂是二次函数，则fd）可以是（）A.f（x）=%—1B.f（x）=5x2C・f{x）=~xD.f{x）=x解析：选D形如Ax）=Z的断数是幕两数，具中a是常数.•■2.（教材习题改编）设一1,1,3,则使函数尸/的定义域为R且为奇函数的所有a值为（）A.1,3B
4、.-1,1C.—1,3D.—1,1,3解析：选A在函数y=xy=x,y=2冲，只有函数尸x和y=f的定义域是R,且是奇函数，故。=1,3.3.（教材习题改编）已知函数/U）=^2+^+5的图象在/轴上方，则a的取值范围是（）九@渤氏（_°°，-胡&债,+8）D.（七,0）解析：选C由题意知[A<0f即[1-20X0得临.4.（教材习题改编）已知点•伴，3）在幕函数代方的图象上，则f（x）的表达式为解析：设幕函数的解析式为得a=—2・故y=x~2.答案：y=^~25.如杲函数刃）的图彖关于直线x=l对称，则函数f（x）的最小值为a=—4,力=6・
5、日+2_解析：由题意知「2—卄方=2,则f(x)=/—2/+6=(x—1)"+535・答案：5考向一帚函数的图象与性质［例1］已知幕函数fx)=在(0,+8)上是增函数，则刃=［口主解答］丁函数A%)=(异一刃一1)厂日是幕函数，m—m—1=1,解得/〃=2或m——1.当m=2吋，一5刃一3=—13,函数y=x~n在(0,+8)上是减函数；当刃=一1时，一5〃/—3=2,函数y=x在(0,+8)上是增函数.•m=—1.练习1.(1)如图给岀4个幕西数人致的图象，则图象与函数对应正确的是(A.①尸右B.①尸乳C.①尸乳②尸③尸冷,②尸乳②尸心③
6、尸右④尸厂D.①尸占②尸易③尸解析：选B由图①知，该图彖对应的函数为奇函数且定义域为R,当Q0时，图彖是向下凸的,结合选项知选B.(2)(2013•淄陳模拟)若A0,则下列不等式成立的是()B.(0.2)'>l-r>2^解析：选B份>0.所以C.闫">(0.2)a>2a若水0,则幕函数/=才在(0,+8)上是减函数，所以(0.2)">(0.2)0闔”>2臼.考向2求二次函数的解析式［例2］已知二次函数/U)有两个零点0和一2,且它有最小值一1.⑴求解析式;⑵若g(x)与fU图象关于原点对称，求呂匕)解析式.［自主解答］(1)由于代方有两个零点0和
7、一2,所以可设产(方=日*/+2)(日工0),这时f{x)=ax(x+2)=a(^+l)2—a,由于/U)有最小值一1,fa>0,所以必有[解得自=1.[―c?=—1,因此f(x)的解析式是f(x)=%(^4-2)=/+2x.(2)设点P(x,力是函数呂匕)图象上任一点，它关于原点对称的点P(—丛一0必在代力图象上，所以一/=(―^)2+2(—,即一y=x~2x,y=—x+2x,故g{x)=—^+2x.练习2.设fd)是定义在R上的偶函数，当0W/W2时，y=x,当x>2时，y=f{x)的图象是顶点为X3,4),R过点昇(2,2)的抛物线的一部分
8、.(1)求函数f(x)在(一8,—2)上的解析式；(2)在下面的玄角坐标系屮肓接画出函数代方的草图；(3)写出函数f(0的值域.解:(1)设顶点为H3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得日=—2,则y=-2(%-3)2+4,即x>2时,f(x)=—2,+12x—14.当x<~2时，即一Q2.又fd)为偶函数，—0=—2X(―Jr)?—i2x—14,即fx)=—2x—2x—14.所以函数H/)在(一8,-2)±的解析式为f{x)=—2#—12/—14.(2)函数f(x)的图象如图,(3)由图象可知
9、，函数f(0的值域为(一8,4].考向3二次函数的图象与性质［例3］已知函数H力=2+2站+3,6］・⑴当日=—2时，求f(力的最值;(
