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《【信息与计算科学专业】【毕业论文】浅析调和方程的数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、本科毕业论文（20届）浅析调和方程的数值解法16摘要调和方程的数值解法是通过离散化利用计算机求调和方程近似解的方法.在调和方程数值解法中有:有限差分法,元体平衡法,有限元素法等等.本文的目的是研究调和方程狄利克雷问题的数值解法,其中用到有限差分法,元体平衡法,有限元素法,论文分析了这三种方法在求解具体问题中的应用,介绍了调和方程在各种条件下求解数值解的解决方案.关键词:调和函数;差分方程;数值解.16AbstractNumericalsolutionofharmonicequationisamethod
2、ofsolvingtheapproximatesolutionofharmonicequationbythediscretizationusingacompute.Inthenumericalsolutionmethodofharmonicequation:finitedifferencemethod,elementbodybalancemethod,finiteelementmethod,etc.Thepurposeofthisthesisistoresearchnumericalmethodsfor
3、dirichletproblemofharmonicequation,thereinusingfinitedifferencemethod,elementbodybalancemethod,finiteelementmethod.Inthispaper,threemethodsareanalysesinsolvingspecificproblem,andthesolutionofharmonicequationnumericalsolutionineveryconditionareintroduced.
4、Keywords:Harmonicfunction;Differenceequation;Numericalsolution.16目录摘要IABSTRACTII1前言12调和方程22.1调和方程的导出22.2调和函数的性质33调和方程的数值解63.1有限差分法的介绍和应用63.2元体平衡法103.3有限元素法(里茨法)123.4有限元素法(伽辽金法)134小结16参考文献17致谢18161前言从20世纪开始,由于物理学内容的更新,数学物理也有了新的面貌.伴随着对电磁理论和引力场的深入研究,人们的时空观念
5、发生了根本的变化,这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间(用现代术语说,洛伦茨流形)的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论,许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式.在探讨大范围时空结构时,还需要整体微分几何.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观,更有价值.在实际求解方程时,除了一些特(数学物理方程在)殊的情况下可以方便地求得其精确解外,在一般情况下,当方程或定解条件具有比较复杂的形式,或求解区域具有比较复杂的形状时,往往求不到,或不易求到其精确解.这就需要我们去寻找方程的近似解,
6、特别是数值近似解,简称数值解.这里主要研究的是调和方程.调和方程,又称Laplace方程,是一类典型的椭圆型方程,也是最简单的椭圆型方程.在学习这一部分内容时,除了弄清楚该方程及相应定解问题的提法与其物理背景以外,还需要掌握的内容有:(1)调和函数的基本性质,包括各类极值原理,以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的.(2)在一些特殊区域中对某些定解问题的求解,包括解的显示表达式的导出.这里需要强调的是,调和方程的许多性质都能推广到一般的情形.也就是说,一般二阶线性椭圆型方程的解也常有类似的性质与
7、极值原理,而且其相应定理的证明思路也与调和方程的情形相仿.从这个角度来说,我们对调和方程的研究蕴含着更丰富的内容.求偏微分方程数值解的方法是多种多样的,它本身已形成了一个独立的研究方向,其要点是对偏微分方程定解问题进行离散化.这里将以二维调和方程的狄利克雷问题和一维热传导方程与一维波动方程的初边值问题为例,说明将这些连续型的问题转化为相应的离散型问题的主要处理方法.162调和方程2.1调和方程的导出我们来研究调和方程(又称拉普拉斯方程)(2.1)及泊松方程(2.2)的基本定解问题及解的性质.方程(2.1
8、)及(2.2)在力学和物理学问题中经常碰到.在研究膜的振动问题中,当不随时间而变化的外力作用下膜平衡时,膜的位移和时间无关,于是膜振动方程就化为膜平衡方程,或写为,它就是二维泊松方程.引力位势在数学史上导致调和方程的一个著名的实例来自牛顿万有引力.根据牛顿万有引力定律,位于处质量为的质点对位于处具有单位质量的质点的引力,其大小等于,而作用方向沿着这两点的连线,指向点,其中为这两点之间的距离.写成向量形式,即为.称为引力场函数.显然引力场函数
