【信息与计算科学】【毕业论文】浅谈常微分方程的数值解法及其应用

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1、本科生论文（设计）（2011届）　毕业论文（设计）浅谈常微分方程的数值解法及其应用本科生论文（设计）摘要：对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其数值方法，以便快速求得数值有其重大意义。针对于此，本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究，探讨了一些数值解法的应用。关键词：常微分方程，数值解法，应用本科生论文（设计）NumericalSolutionofDiffere

2、ntialEquationandItsApplicationsAbstract:forsomesimpleandtypicaldifferentialequationmodel,suchaslinearequation,somespecialfirst-ordernonlinearequationcanbemanagedtofindoutitsanalyticalsolution,butinmathematicalmodelingofordinarydifferentialequationmetininitialvalueproblemmodel,it

3、isoftenhardto,evencan'tfindouttheanalyticalsolution,butonlyforitsapproximatesolution.Therefore,studythenumericalmethodforquickgetnumericalhasitsgreatsignificance.Basedonthis,thepaperinitialvalueproblemsofdifferentialequationmodelofexistingproblemissummarizedinthenumericalmethoda

4、nddiscussessomenumericalsolutionofapplication.Keywords:ordinarydifferentialequation,thenumericalsolution,applications本科生论文（设计）目录1绪论11.1问题的背景11.2问题的意义12常微分方程概念介绍32.1常微分方程概况32.2常微分方程初值问题描述32.3初值问题(1)解的存在惟一性定理32.4常微分微分方程产生的历史背景以及发展43常微分方程的数值解法63.1常微分方程求解的数学思想63.2常微分方程的数值解法63.2.1Eul

5、er法63.2.2泰勒级数法83.2.3龙格—库塔方法93.2.4预报—校正方法114常微分方程的数值解法的应用134.1初轨计算134.2司机饮酒驾车防避模型165结论23参考文献24致谢26本科生论文（设计）1绪论1.1问题的背景微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程

6、的理论。[1]常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。[2]1.2问题的意义常微分方程的概念、解法和相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，不过能够求出通解的情况不多，在实际应用中多是求满足某种指定条件的特解。我们知道，自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化

7、学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使

8、此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难