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1、毕业设计文献综述信息与计算科学浅析调和方程的数值解法摘要:调和方程,又称Laplace方程,是一类典型的椭圆型方程,也是最简单的椭圆型方程.需要掌握:调和函数的基本性质,包括各类极值原理,以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的.在一些特殊区域中对某些定解问题的求解,包括解的显示表达式的导出.而且其相应定理的证明思路也与调和方程的情形相仿.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观,更有价值.关键词:调和方程;椭圆;数值解.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观,更有价值.在实际求解方程时,除了一些特殊的情况下可以方便
2、地求得其精确解外,在一般情况下,当方程或定解条件具有比较复杂的形式,或求解区域具有比较复杂的形状时,往往求不到,或不易求到其精确解.这就需要我们去寻找方程的近似解,特别是数值近似解,简称数值解.这里主要研究的是调和方程.调和方程,又称Laplace方程,是一类典型的椭圆型方程,也是最简单的椭圆型方程.在学习这一部分内容时,除了弄清楚该方程及相应定解问题的提法与其物理背景以外,还需要掌握的内容有:(1)调和函数的基本性质,包括各类极值原理,以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的.(2)在一些特殊区域中对某些定解问题的求解,包括解的
3、显示表达式的导出.这里需要强调的是,调和方程的许多性质都能推广到一般的情形.也就是说,一般二阶线性椭圆型方程的解也常有类似的性质与极值原理,而且其相应定理的证明思路也与调和方程的情形相仿.从这个角度来说,我们对调和方程的研究蕴含着更丰富的内容.求偏微分方程数值解的方法是多种多样的,它本身已形成了一个独立的研究方向,其要点是对偏微分方程定解问题进行离散化.这里将以二维调和方程的狄利克雷问题和一维热传导方程与一维波动方程的初边值问题为例,说明将这些连续型的问题转化为相应的离散型问题的主要处理方法.下面我们讨论二维调和狄利克雷问题的数值解:(
4、1.1)3其中方程(1.1)在平面的一个有界区域中满足,为的边界,设其为分段光滑,而为在上给定的连续函数.有限差分法要求得狄利克雷问题(1.1)的数值近似解,首先要将相应的微分方程离散化,这就导致有限差分法.元体平衡法由格林公式,若,对内任一分段光滑的闭环路成立(1.2)其中是L所包围的区域,n是L上的单位外法向量.于是,若(1.3)而在的边界上(1.4)以稳定温度场为例,(1.3)式表示在L上总热流量为零的平衡条件.现在从(1.3)—(1.4)出发求其相应的数值解,称为元体平衡法.有限元素法(里茨法)令(1.5),及,若为调和方程狄利
5、克雷问题(1.1)的经典解,且使(1.6),在上述变分问题中,将求泛函数极值的函数集合适当扩大为:.(1.7)若函数,且满足(1.8),则称为狄利克雷问题(1.1)的广义解.对变分问题(1.8)进行离散化,就导致另一种数值求解方法,称为有限元素法.有限元素法(伽辽金法)与调和方程狄利克雷问题(1.1)等介的变分问题还有另一种形式.先在且为有限的假设下考察解.由于,由u使取到极小的性质,对任一给定的实数,任一给定的,成了.其中.注意到:3.(1.9)且当时它达到极小值,因此有.从而对任何给定的,成立(2.0).反之,若,且对任何给定的成立
6、(1.9),则必有(1.6)式成立.事实上,对任何,令,由(1.9),(2.0)式就有:.这就得到了(1.6)式.据此,我们可以定义广义解如下:若函数(由(1.7)定义),且对任何给定的满足:其中,则称狄利克雷问题(1.1)的广义解.考察将上述变分问题进行离散化的方法.这种数值求解方法乃称为有限元素法.为与上一段所叙述的里茨有限元素法相区别,本段的方法称为伽辽金法.参考文献[1]谷超豪,李大潜,陈怒行等.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]张天德,张希华,王玮.偏微分方程差分格式的构造[J].山东工业大学学报,19
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