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《浅析调和方程的数值解法【开题报告】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、毕业设计开题报告信息与计算科学浅析调和方程的数值解法一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义数学物理方程在自然科学以及工程技术中有广泛的应用,又与其他各数学分支有密切的联系.描述血多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式,特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都式是偏微分方程,例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此.这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程就是所谓的数学物理方程.当然几何学中的很多问题也是可以用偏微分方程来描述.从20世纪开始,由于物理学内容的更新,数学物理也有了新的面貌.伴随着对电磁理
2、论和引力场的深入研究,人们的时空观念发生了根本的变化,这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间(用现代术语说,洛伦茨流形)的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论,许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式.在探讨大范围时空结构时,还需要整体微分几何.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观,更有价值.在实际求解方程时,除了一些特(数学物理方程在)殊的情况下可以方便地求得其精确解外,在一般情况下,当方程或定解条件具有比较复杂的形式,或求解区域具有比较复杂的形状时,往往求不到,或不易求到其精确解.这就需要我们去寻找方程
3、的近似解,特别是数值近似解,简称数值解.这里主要研究的是调和方程.调和方程,又称Laplace方程,是一类典型的椭圆型方程,也是最简单的椭圆型方程.在学习这一部分内容时,除了弄清楚该方程及相应定解问题的提法与其物理背景以外,还需要掌握的内容有:(1)调和函数的基本性质,包括各类极值原理,以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的.(2)在一些特殊区域中对某些定解问题的求解,包括解的显示表达式的导出.这里需要强调的是,调和方程的许多性质都能推广到一般的情形.也就是说,一般二阶线性椭圆型方程的解也常有类似的性质与极值原理,而且其
4、相应定理的证明思路也与调和方程的情形相仿.从这个角度来说,我们对调和方程的研究蕴含着更丰富的内容.求偏微分方程数值解的方法是多种多样的,它本身已形成了一个独立的研究方向,其要点是对偏微分方程定解问题进行离散化.这里将以二维调和方程的狄利克雷问题和一维热传导方程与一维波动方程的初边值问题为例,说明将这些连续型的问题转化为相应的离散型问题的主要处理方法.下面我们讨论二维调和狄利克雷问题的数值解:(1.1)其中方程(1.1)在平面的一个有界区域中满足,为的边界,设其为分段光滑,而为在上给定的连续函数.1.有限差分法要求得狄利克雷问题(
5、1.1)的数值近似解,首先要将相应的微分方程离散化,这就导致有限差分法.2.元体平衡法由格林公式,若,对内任一分段光滑的闭环路成立(1.2)其中是L所包围的区域,n是L上的单位外法向量.于是,若(1.3)而在的边界上(1.4)以稳定温度场为例,（1.3）式表示在L上总热流量为零的平衡条件.现在从(1.3)—(1.4)出发求其相应的数值解,称为元体平衡法.3.有限元素法(里茨法)令(1.5),及,若为调和方程狄利克雷问题(1.1)的经典解,且使(1.6)在上述变分问题中,将求泛函数极值的函数集合适当扩大为:(1.7).若函数,且满
6、足(1.8),则称为狄利克雷问题(1.1)的广义解.对变分问题(1.8)进行离散化,就导致另一种数值求解方法,称为有限元素法.1.有限元素法（伽辽金法）与调和方程狄利克雷问题(1.1)等介的变分问题还有另一种形式.先在且为有限的假设下考察解.由于,由u使取到极小的性质,对任一给定的实数,任一给定的,成了.其中.注意到:(1.9).且当时它达到极小值,因此有.从而对任何给定的,成立(2.0).反之,若,且对任何给定的成立(1.9),则必有(1.6)式成立.事实上,对任何,令,由(1.9),(2.0)式就有:,这就得到了(1.6)式
7、.据此,我们可以定义广义解如下:若函数(由(1.7)定义),且对任何给定的满足其中则称狄利克雷问题(1.1)的广义解.考察将上述变分问题进行离散化的方法.这种数值求解方法乃称为有限元素法.为与上一段所叙述的里茨有限元素法相区别,本段的方法称为伽辽金法.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题研究的基本问题：浅析调和方程的数值解法解决的主要问题：1.有限差分法2.元体平衡法3.有限元素法(里茨法)4.有限元素法(伽辽金法)三、研究步骤、方法及措施研究步骤:1.查阅相关资料,做好笔记;2.仔细阅读研究文献资料;3.在老师指导下,确定整个
8、论文的思路,列出论文提纲,撰写开题报告;4.翻译英文资料;5.开题报告通过后,撰写毕业论文;6.上交论文初稿;7.反复修改论文,修改英文翻译,撰写文献综述;8.论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料,到数据库查找文章,参考相关内容．在老师指导下,
