【高一讲义】函数的图象

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1、(一)主要知识：1.作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；2.三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3.识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.(二)主要方法：1.平移变换：(1)水平平移：函数y=/(无+a)的图像可以把函数y=/(x)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移

2、a

3、个单位即可得到；(2)竖直平移：函数y=f(x)+a的图像可以把函数y=f(x)的图像沿兀轴方向向上(。>0)或向下(67<0)平移IaI个单位即可得到•2.对称变换：(1)函数v=/(-X)的图像可以将函数y=f

4、(x)的图像关于y轴对称即可得到；(2)函数)u-f(x)的图像可以将函数y=/(X)的图像关于x轴对称即可得到；(3)函数v=-/(-x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于原点对称即可得到;(4)函数y二f-^x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于直线y=兀对称得到.3.翻折变换：(I)函数y=

5、/(X)

6、的图像可以将函数y=/(x)的图像的兀轴下方部分沿兀轴翻折到兀轴上方，去掉原兀轴下方部分，并保留v=/(x)的兀轴上方部分即可得到；(2)函数y=/(Ix

7、)的图像可以将函数y=/(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边

8、替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分即可得到.4.伸缩变换：(1)函数y=af(x)(a>0)的图像可以将函数v=f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a>1)或压缩(Ovavl)为原来的。倍得到;(2)函数y=f(ax)(a>0)的图像可以将函数y=/(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a>1)或压缩(Ovavl)为原來的丄倍得到.ayt(三)例题分析：题型1：作图例1.已知函数y=/(x)的图像如图所示，请画出下列函数的图像.⑴y=⑵>=-/(%)；(3)y=f(x)；(4)y=f(x)

9、；(5)『=/(一兀+1).题型2：识图例2.已知函数$=f(x)(xe7?)满足/(x+1)=f(x-1),且当xg[-1,1]时，/(x)=x2,则y=/(兀)与y=log5%的图象的交点个数为A、2B、3C、4D、5例3.函数y=/(x)与)，=g(x)的图像如下图：则函数y=f(x)-g(x)的图像可能是解：AT函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=/(X)与尸g(JC)的定义域的交集(-oo,0)U(0,+oo),图像不经过坐标原点,故排除C、Do由于当X为很小的正数时/(%)>0且g(兀)<0,故/⑴・g(兀)<

10、0。例4.如下图所示，向高为H的水瓶A,B,C,D同时以等速注水，注满为止;(1)(2)(3)(4)若水深力与注水时间t的函数图彖是下图中的a,则水瓶的形状是一C；若水量u与水深力的函数图像是下图中的b,则水瓶的形状是一A；若水深/?与注水时间/的函数图象是下图中的C,则水瓶的形状是一D；若注水时间/与水深/?的函数图象是下图中的d,则水瓶的形状是一B题型3：函数的图象变换与应用例5.说明由函数y=2-v的图像经过怎样的图像变换得到函数y=+1的图像.解：方法一：(1)将函数v=2"的图像向右平移3个单位，得到函数y=2A-3的

11、图像；(2)作岀函数y=2A-3的图像关于y轴对称的图像，得到函数y=2-v~3的图像；(3)把函数y=2-v~3的图像向上平移1个单位，得到函数y=2-v~3+1的图像.方法二：(1)作出函数y=2x的图像关于y轴的对称图像，得到y=2~x的图像；(2)把函数y=Tx的图像向左平移3个单位，得到丿=2一1的图像；(3)把函数y=2-'-3的图像向上平移1个单位，得到函数y=2~x-3+l的图像.例6.设/(x)=

12、2-x2

13、,若ovbvO,且f(a)=f(b),则ob的取值范围是解：保留函数v=2-x2在x轴上方的图像，将其在

14、兀轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数f(x)=2-x2^图像。通过观察图像，可知兀力在区间(—-V2］上是减函数，在区间［-V2,0］±是增函数，由a

15、=J卩•=—_:_—2(这种变换是解决这类问题的关键)，由此说明，｝；=-—是x—3x—3x—3x—33由y=--图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即x=0,^=-l,y=0,x=

16、o故图象