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1、解析几何第三节圆的方程和直线与圆、圆与圆的位置关系一、知识要点1、圆的方程：（1）圆的标准方程：（兀—a）?+（y—b）?=厂其中圆心为（a,b）,半径为r.(2)圆的一般方程：x1+y~^-Dx+Ey+F=Q(*)将（*）式配方得（%+y）2+（y+y）当D2+£2-4F>0W，方程（*）表示圆心（一卩2当Z）2+E2-4F=（）时，方程（*）表示点（一2,22_D2+E2-4F4E1,力半径r=-S+E?-4F的圆,22二)，2当D2+£2-4F<0时，方程（*）不表示任何图形.（3）圆的直径式方程：2、求圆的方程的一般步骤：①选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标
2、,通常选用一般方程;若给出与圆心、半径、弦长、切线等有关量，通常选用标准方程）；②根据所给条件，列出关于D、E、F或°、b、尸的方程组；③解方程组，求出D、E、F或a、b、厂的值，代入可得所求圆的方程.注：解析儿何屮与圆有关的问题，应充分运用圆的儿何性质帮助解题.3、三种位置关系：A、点与圆的位置关系：点在圆外、圆上、圆内判断方法一是代入法，二是ZR法，三是向量法B、直线与圆的位置关系：相离，相切，相交判断方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式4来讨论位置关系.①4>0,直线和圆相交；②力二0,直线和圆相切；③4V0,直线和圆相离.方法二是几何的观点，
3、即把圆心到直线的距离〃和半径R的大小加以比较.①XR，直线和圆相交；②心R,直线和圆相切；③d>R,直线和圆相离.方法三是定点的观点，即求动直线所过的定点.若定点在圆内，则直线和圆相交；若定点在圆上，则直线和圆相交或相切，若定点在圆外，则直线和圆相交或相切或相离.注：①直线和圆相离，这类问题主要是求圆上一点到直线的距离的最值.①直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程一般可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.②直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.C、圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含判断方法一
4、几何法:设两圆圆心分别为0],02,半径分别为口,1*2,
5、0
6、。2
7、二dod＞斤+EO夕卜离；d=斤+乙o外切；
8、斤一引vd°+EU＞相交:〃=斤_引o内切；0vdvh_£
9、o内含判断方法二代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离或内含.二、典例解析题型一：给定条件求圆的方程例1、已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0±,且被直线y=x截得的弦长为2万,求圆C的方程.例2、已知圆C过A(4,2)、B(-1,3)两点，且在两坐标轴上的截距Z和为2,求圆C的方程.题型二：与圆
10、有关的最值问题例3、已矢口实数x、y满足方程x2+y2—4x+l=0.求(1)丄的最大和最小值；(2)y—兀的最大和最小值；(3)*+),2的最大和最小值.变式：平面上有两点A(—1,0),3(1,0),点P在圆周(x—3)2+(〉，—4尸=4上，求使AP-+BP~取最小值时点P的坐标.题型三：点、直线、圆与圆的位置关系例4、若经过点P(5a+l,12a)可以作圆X2+y2-2x=0的两条切线，则实数a的取值范围是例5、(1)圆F+.y2=8内有一点P(—l,2),AB为经过点P且倾斜角为Q的弦。①当a=—时，求弦AB的长；②当弦AB被点P平分时求直线AB的方程;4③当弦AB最短时
11、，求直线AB的方程。(2)110C:x2+y2=2外一点P(4,2)向圆引切线，①求过点P的圆的切线方程；②若切点为P],P2,求过点Pi,P2的直线方程;③求过圆心C和P
12、,P2三点的圆方程。圆x2+/-4x=0在点P(l,V3)处的切线方程为(3)①圆F+才+2兀+4y一3=0上到直线兀+y+1=0的距离为V2的点共有个.②若圆(x-3)2+(y+5)2=/上有且只有两个点到直线牡一3尸2的距离等于1,则半径r的范围是.③在平面直角坐标系兀0)，中，已知圆/+＞，2=4上有且仅有四个点到直线12兀—5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.⑷①若曲线y=yll-x2与直线y
13、=x+h始终有交点，则〃的取值范围是；若有一个交点，则b的取值范围是:若有两个交点，则b的取值范围是②己知P是直线3x+4y+8=0上的动点，是圆x24--2x-2y+1=0的切线，礼B是切点，C是圆心，那么四边形P4CB面积的最小值是.例6、已知圆□C1:x2+y2+2x+2y-8=0与DC2:%2+/-2x+10y-24=点，(1)求公共弦所在的直线方程；(2)求圆心在直线y=-x±，且经过两点的圆的方程；(3)求经过两点且面积最小的圆的方程。题型四：与圆有关的综
