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《第二节几类简单微分方程及其解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二节儿类简单微分方程及其解法本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法.一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程•它的一般形式可表示为：F(x,)y)=O或沪尸(兀y),其中F(x,卩)为兀y,y'的已知函数,F(x,y)为兀,y的已知函数.一、可分离变量的微分方程如果一阶微分方程y=F(兀y)的等式右端能分解为：F(x,y)=/(x)g(y)，即/=/(兀)g(y)(7.2.1)则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程.设g(y)H0，则方程(6.2.1)改写为：dy=f(x)dx,上式两边积分，可得-^-dy=f(
2、x)dx.Jg(y)J上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法.注：在分离变量时，未知函数y的函数和微分要写在等式的左边.例1求微分方程/=2x(y+3)的通解.解1:原方程可改写为©二2x(j+3).dx分离变量，两边积分，得Iny+3
3、=x2+C［，即y=±ex+c,-3.记c=±eq,则微分方程的通解为y=cex-3(c为任意常数)•原方程可改写为乞=2x(y+3).dx分离变量,—!—cly-[2xdx、y+3Jln(y+3)二=x2+Inc,E
4、JIn〉+彳=x2,y+3=cex两边积分，得J则微分方程的通解为y=cex-3(c为任意常数).注：为了简
5、化运算，规定:(1)微分方程中出现形为,可不按不定积分基本积分公式表写成rduInw+c,(2)不定积分等式中至少有一个形为J色的积分时，任意常数不写成c,而写成Inc并11放在等式右侧.例2求微分方程x/=y的通解.解：分离变量，两边积分，得lny=lnx+lnc=Inex则微分方程的通解为y二er(c为任意常数).例3求微分方程R(1+x2)dy=2兀(1+ey)dx的通解.解：分离变量，两边积分，得ln(l+o')=ln(l+X，)+Inc二lnc(l+x2),1+R=c(l+x2)-则微分方程的通解为y=ln[c(l+x2)-l](c为任意常数).例4求微分方程y-%y
6、=a(y2+卩)的通解.解：原方程可写为(a+x)y=y-ay2,分离变量，两边积分，得lny-ln(l一ay)=ln(o+尢)+Inc,yIn—-—=Inc(a+x),1-ay即1一ay=c(a+x).则微分力•程的通解为y=c(a+兀)(1一与)(c为任意常数).例5求微分方程cosydx+(1+旷“)sinydy=0满足定解条件y(0)二-的特解.'4解：分离变量，两边积分，得sinycosy—-——dx,1+『dcosycosyd(l+K)l+KIncosy=ln(l+ex)+Inc=lnc(l+"),则微分方程的通解为cosy二c(l+K)由定解条件y(0)詣可得：c
7、半所以，所求特解为cosy=#(l+Q).例6跳伞运动员跳伞下落，当伞张开时，伞以初速度为零垂直下落.设空气助力与运动速度成正比，求跳伞运动员下落速度与吋间的函数关系及其极限速度.解：设下落速度为v(Z),则加速度a=v(r).跳伞运动员所受的外力为：重力加g,方向与速度方向相同；阻力kv^k>0),方向与速度方向相反•根据牛顿第二定律，下落速度满足的微分方程为mg-kv=mv定解条件为v(0)=0,分离变量，并积分，得rdv_[dtJmg-kv」m'cd(mg-kv)=_krt^」mg-kvmJk{mg-hO=——r+lnc,m1严一Jb,cmmg-kvc通解为：1--
8、tv=—(mg-cem),代入定解条件v(0)=0,可得c=mg,所以，跳伞运动员下落速度与时间的函数关系为当时间足够大时，极限速度为limv=lim-(1-ww)mgk答下落速度与时间的函数关系为v=),极限速度为些.kk二、齐次微分方程如果一阶微分方程可写为牛=心(7.2.2)dxx则称方程(7.2.2)为齐次微分方程，简称为齐次方程.特点：将所给一阶微分方程整理成标准形式/=F(x,y),如果F(x,y)中的每一项里的x,y的幕指数之和恒为同一常数匕该方程为齐次微分方程.解法：通过变量替换，化为可分离变量的方程.y令u=—,y=xu(u=w(x))x'对x求导，得—=u^
9、-xu=f(u),即dxxu'=f(u)-u分离变量并积分，得[!du=Inex(c为任意常数)(7.2.3)Jf(u)一u完成等式左端的积分并回代，即可得到通解.例7求微分方程的通解.XXy解：令w=—,y=xu,j1=w+xw1=w+tanu.x・代入方程得xu'=tanu分离变量，两边积分，得jcotuduInsinu=Inex,sinu=ex9则微分方程的通解为sin—=ex,或y=xarcsincx,(c为任意常数).X三、一阶线性微分方程如果一阶微分方程卩=F(x,y)的未知函数
