几类简单的微分方程

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1、第3章一元函数积分学及其应用第1节定积分的概念，存在条件与性质第2节微积分基本公式与基本定理第3节两种基本积分法第4节定积分的应用第5节反常积分第6节几类简单的微分方程2008年12月17日1南京航空航天大学理学院数学系—积分问题—微分方程问题推广第6节几类简单的微分方程本节仅讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用.ch7章对微分方程的理论及其求解将进行较为系统的介绍2008年12月17日2南京航空航天大学理学院数学系第6节几类简单的微分方程6.1几个基本概念6.2可分离变量的微分方程6.3一阶线性微

2、分方程6.4变量代换法6.5可降阶的高阶方程6.6应用举例2008年12月17日3南京航空航天大学理学院数学系解6.1、几个基本概念2008年12月17日4南京航空航天大学理学院数学系解2008年12月17日5南京航空航天大学理学院数学系代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需2008年12月17日6南京航空航天大学理学院数学系微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1:常微分方程,偏微分方程.2008年12月17日7南京航

3、空航天大学理学院数学系一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.2008年12月17日8南京航空航天大学理学院数学系分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程.2008年12月17日9南京航空航天大学理学院数学系微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分

4、方程的阶数相同.2008年12月17日10南京航空航天大学理学院数学系(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.2008年12月17日11南京航空航天大学理学院数学系过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.2008年12月17日12南京航空航天大学理学院数学系解2008年12月17日13南京航空航天大学理学院数学系所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(

5、通解可用初等函数或积分表示出来)2008年12月17日14南京航空航天大学理学院数学系6.2可分离变量的微分方程2008年12月17日15南京航空航天大学理学院数学系定义~~~~~~~~~~~~~~~~~~分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.2008年12月17日16南京航空航天大学理学院数学系可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.2008年12月17日17南京航空航天大学理学院数学系例4求解微分方程解分离变量两端积分2008年12月17日18南京航空航天大学理学院数学系例5解20

6、08年12月17日19南京航空航天大学理学院数学系一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;6.3一阶线形微分方程2008年12月17日20南京航空航天大学理学院数学系齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2008年12月17日21南京航空航天大学理学院数学系2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐方程通解形式与齐方程通解相比:2008年12月17日22南京航空航天大学理学院数学系常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变

7、量代换.作变换2008年12月17日23南京航空航天大学理学院数学系对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得2008年12月17日24南京航空航天大学理学院数学系解例12008年12月17日25南京航空航天大学理学院数学系求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出例22008年12月17日26南京航空航天大学理学院数学系6.4变量代换法2伯努利方程1齐次方程3其他的变量替换法举例2008年12月17日27南京航空航天大学理学院数学系6

8、.4变量代换法的微分方程称为齐次方程.(2)解法作变量代换代入原式可分离变量的方程(1)定义1齐次方程2008年12月17日28南京航空航天大学理学院数学系例1求解微分方程微分方程的解为解2008年12月17日29南京航空航天大学理学院数学系伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.2伯努利方程解法:需经过变量代换化