3.7几类简单的微分方程

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1、为了研究事物的运动发展规律，必须建立起描写运动变化规律的函数关系。在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（或函数）往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式。这种联系着自变量、未知量及其导数（或微分）的关系式，称之为微分方程，其中导数或微分是不可少的。第六节　几类简单的微分方程微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。其实在自然科学和科学技术的其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程问题。在

2、实际问题中所遇到的微分方程大都比较复杂，因此研究微分方程理论及其解法就是我们面临的一个重要问题。关于这方面的知识，在第七章中我们还要作较为系统的介绍，本节只讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用。这里我们只研究自变量仅有一个的微分方程，即常微分方程。常微分方程和数学的其它分支有密切的联系，它们往往互相联系、互相促进。例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉和有力工具。考虑到常微分方程与实际联系比较密切，我们应该注意它的实际背景和应用。解一、几个基本概念,2Cxy+=即解两次积分可得根据题意，还应满足两个附加条件：代入上式可得，上述两例虽然都

3、简单，但都列出了含有未知函数导数的关系式(1)和（2）.微分方程:凡表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程叫微分方程.例都是微分方程注:定义中未知函数的导数(或微分)是不可少的微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程；偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.一阶微分方程高(n)阶微分方程形如分类2:按微分方程的阶数来分分类1:按微分方程中含未知函数的情形来分分类3:线性与非线性微分方程.例如，为一阶线性微分方程.阶线这数分类4:单个微分方程与微分方程组.不是线性方程的方程称为

4、非线性方程。例如微分方程的解:能使微分方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：称为该n阶微分方程的通解。这里，两个任意常数是独立的，是指他们不能通过运算合并成一个。把满足定解条件的解，称为该方程的一个特解.初始条件:为确定通解中任意常数给出的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.特解的图象:是一条曲线，叫微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.微分方程的解的图形：解所求特解为能写成形如.解法(1)两边积分得二.可分离变量的一阶微分方程的微分方程，称为可分离变量的

5、方程。（2）确定的隐函数就是（1）的解。例1求微分方程解y≠0时，分离变量得两端积分例3设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.解:设降落伞下落速度为v(t)，降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用。重力大小为mg，方向与v一致；所受阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为：按题意，初始条件为：根据牛顿第二定律F=ma(其中a为加速度)，得函数v(t)应满足的方程为：(1)方程（1）时可分离变量的，分离变量后得：两端积分即：或：（2

6、）这就是方程（1）的通解。于是所求特解为：（3）的微分方程，称为齐次微分方程.解法作变量代换代入(3)得可分离变量的方程三、一阶齐次微分方程例1求方程的通解：解得（是齐次方程）方程变为：即：u≠0时，分离变量得积分，得经检验知：利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为形如方程（1）为齐次的.方程（1）为非齐次的.四.一阶线性微分方程的方程叫一阶线性微分方程.齐次方程(2)的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程(1)的解法使用分离变量法：2.线性非齐次方程讨论两边积分与齐方程通解相比可见:因此求非齐次线性微分方程的通解常用常数变易法即把齐次

7、方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换，令的通解则积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1由分离变量法易得对应的齐次线性微分方程的通解为再用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。设其通解为：则代入原方程并化简得从而将它代入（*）式，得原方程的通解例2解此方程是非齐次线性方程令：其中：方程的通解为：的方程，称为伯努利(Bernoulli)方程方程为非线性微分方程，但通过变量的代换，方程为线性微分方程.形如可把它化为线性的.求出通解后，将代入即得代入上式得例3解方程化为令为线性方程通解为:原方程通解为:综上所述，在微

8、分方程求解中，做变量代换是最常用的方法，具体分析，作适当变量代换后，将方程化为可分离变量的方程