几类常微分方程的典型解法开题报告

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1、开题报告几类常微分方程的典型解法一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势)常微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具区解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决

2、,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.文献一中提到,常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容.微分方程的发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼

3、兹(Leibniz)曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉(Euler)则试图用积分因子统一处理,伯努利(Bernoulli)、里卡蒂(Riccati)微分方程就是在研究初等积分时提出后人们以他们的名字命名的方程.早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔(Liouville)于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断.加上柯西(Cauchy)初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“适定性理论”阶段.19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希

4、兹(RudolphLipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿跟皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题.19世纪为常微分方程发展的解

5、析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.如:贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)多项式等.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱(HenriPoincare,1854-1912)就开

6、始了微分方程的定性研究.由于希尔伯特(Hilbert)提出20世纪23个数学问题中关于极限个数的第16个问题,大大促进了定性理论的发展.同时,常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫(1857-1918)创立的运动稳定性理论,主要用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解的趋向问题,在天文、物理及工程技术中得到广泛应用,先后在前苏联、美国受到极大重视.同时,伯克霍夫(Birkhoff)在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域,由于拓扑方法的渗入,20世纪50年代后经阿诺德(Ar

7、onold)、斯梅尔(Smale)等大数学家的参与而得到蓬勃发展.除定性、稳定性和动力系统理论外,还有非线性振动理论、摄动与奇异摄动理论及变换群理论在20世纪也得到迅速发展.常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机

8、和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文研究的基本内容为:一、绪论,主要包括常微分方程的背景、由来以及发展动态.二、几类常微分方程的一般解法,