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1、洛阿丿甲范孕眈LUOYANGNORMALUNIVERSITY2009届本科毕业论文同余关系在数学中的应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名杨盈曼学号050414038指导教师周慧倩讲师7E成时间2009.5同余关系在数学中的应用杨盈曼数学科学学院数学与应用数学学号：050414038指导老师：周慧倩摘要：同余概念是数论的一个重要组成部分，也是解决数学问题的一个有力工具.根据同余的性质、定理可以检验整数整除性及整数加、减、乘法的运算结果；而由费马定理可以得出幕的形式的末尾数字的结论和星
2、期计算问题的公式.关键词：同余；整除；余数；费马定理徳国数学家高斯的《算术研究》是数论史上的一部经典著作，它的出版标志着近代数论研究的正式开始•同余理论是初等数论的核心内容蕴含着大量数论所特有的思想、概念和方法•于是本文重点研究同余的性质和费马小定理•运用它们来解决问题，可以避免繁琐的计算，抓住问题的实质和耍害，从而得到相应的结论和公式•这些结论和公式的得出既是从感性到理性的升华，也是从灵感到结果的应证.1同余的性质及几个重要的定理性质(i)(自反性)(ii)(对称性)(iii)(传递性)定义给定一个止
3、整数加，把它叫做模•如果用加去除任意两个整数d,b所得的余数相同，我们就说Q"对模加同余，记作a=b(modm).a=a(modm)；若a三b(mod/?7),贝Ub三a(modm)；若a三b(mod〃？),b=c(modm),贝=c(modm)；(iv)若ci三b(modm),x=y(modm),贝±x=c±y(modm)；(v)当a=b(modm),则(a,m)=(/?,m),因而若d能整除加及d、b二数Z-,则d必能整除a、"中的另一个.(iv)若a〕=/?!(modma2三b2(modm),贝
4、>J三b
5、/?2(moclm).特别地，若a=b(modm),则ak=bk(modm).定理1若人如..®三Bg..®(modm),x.三儿(mod/n),i=1,2,・・・R,则工纭..5兀『…=工Bar-aky?••-y?(modm).特别地，若幻=bi(mod///),i=0,1,2,•••/?,贝ljcinxniHciQ三b”x"4-bn_}xn1H—(mod/??).定理2(费马定理)设”是素数，则对于任意的整数d,冇dp=Cl(modp)若(a,p)=1,则ap[=(modp)・2同余在数
6、学中的应用2.1同余在检验因子中的应用整除与同余是密切相关的，有些整除性问题的解答过程常常是同余理论的灵活应用•检验因子就是利用同余关系寻找算术中的一些整除性规律.定理3—整数能被3(9)整除的充分必要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除.证明对任意一止整数Q,把。写成十进位数的形式，即a=a”10"+%]10心+・・・+仇,OSq<10因10=l(mod3),故由定理1得a=an+an_x+…+a。(mod3)曲同余性质可得31a,当且仅当31£同理可得91a,当且仅当i=091工Clj•i=0同
7、理可证：一个数能被4（25）整除的充分必要条件是它的十进位的后两位数字能被4（25）整除.定理4设正整数a=anlOOOn+〜.]1000心+---+tz0,0<6Z-<1000,则13（或7,或11）整除。的充分必要条件是13（或7,或11）整除（°。+）_（+色）=工（-1）'a{.I=0证明因为1000与一1对模13（或7,或11）同余，故由定理2知，Q与£（-1）匕对模13（或7,或11）同余.由性质（v）得，13（或7,或11）整除Q当且仅当13（或7,或11）整除£（-1）匕・/=0例1若a
8、=587412,则nZ
9、各位数字Z和对模9同余.证明设正整数N=+色一10心+…+Qo,ow®vio,由引理得，％xl0Ve(mod9),i=0,l,2,・・F,再由同余的可加性得N=cin+an_x-(mod9).对于乘积可采用下列检验方法•设G,b是两个整数，用普通乘法求整数d,b的乘积是C,并令a=cln10,,+Q“_】l°z+…+%)，0<①v10，心0,1,2,…仏b=bmlOm+J0心+…+%,05bjv10J二0,1,2,…m,c=C/10'++
