对称变换的研究

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1、数学10903班郑庆庆20090546120号正多边形的对称变换探究：1、你能给出正五边形、正六边形的对称变换吗？一、问题分析：对于上述问题，我们要用到对称变换的相关知识，我们知道，正方形有8个对称变换，这8个对称变换都保持正方形的中心不动，而把它的顶点仍然映成顶点，把这8个对称变换组成的集合记做D4,即：D4={/川,巧，与，行,小,久,久}，事实上，止n边形的对称变换都保持它的对称中心不动，而把它的n个顶点仍然映成顶点。二、问题解答：如图，先画一个正五边形，在它的顶点标上1、2、3、4、5和中心我们来做它的对称变换：（1）恒等变换，记做/（2）关于对称轴人所在的直线的反射，记做斤：（见

2、上图）（3）关于对称轴$所在直线的反射,记做（见图三）L<3)o2(2)5(4)4(5)3(I)图三2(4)（4）关于对称轴$所在直线的反射，记做$:（见图四）（5）关于对称轴％所在的直线的反射，记做行：（见图五）图五4(1)3(2)图六（6）关于对称轴$所在直线的反射，记做（见图六）（7）以点。为中心，旋转108°,记做/?,：（见图7）（8）以。为中心，旋转216°,记做/V（见图8）（9）以。为中心，旋转324°,记做/V（见图9）（10）以o为中心，旋转432°,记做°：（见图10）2<5)图10结论：通过以上分析，我们可以得到，正五边形对称变换组成的集合为：类似的，我们可以得到，

3、正六边形的对称变换组成的集合为：°6=｛人叶込,2忆虫，｝2二｛/，斤虫虫旳虫虫，D，P2，P3,久，久｝三、小结：正多边形的对称变换都是以其中心0为不动点的平面刚体运动，因此只有两类——或是以0为中心的对称变换，或是关于经过o点的直线的反射的变换。直角坐标系与极坐标系的比较探究：2、在极坐标系中，由三条直线&二0,&二彳，pcos&+psin&=1围成图形的面积是多少？一、问题分析：我们已经知道，对于平面上任意一点M,用”表示0M的长度，用&表示0X到0M的角度，。叫做M的极径，0叫做点M的极角，有序对（00）就叫做M的极坐标，由极径的意义可知p>0,当极角&的取值范围是［0,2刃吋，平

4、面上的点（除去极点）就与极坐标（°&）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径°=0,极角是任意角，对于上述问题，我们可以用两种思想进行解答，方法一：在极坐标系中，建立方程，进行求解。方法二：在育角坐标系中,建立方程求解。二、问题求解：方法一：建立极坐标系.我们知道pcos&=1的图像如图一，而pcos&+/?sin&=1,化简为：V^pcos&+—=14丿即尸血pcos（&+耳的图像为将y=pcos0的图像逆时针旋转兰，故我们可以I4丿^4214-^3画出pcos&+psin&=l的图像，如图二。我们将三条直线的图像画在极坐标系中,如图三。代入pcos&+/?sin&=l得/?

5、=故，阴隐区域的面积为：嗨X島叫心畔方法二：建立直角坐标系。由x=pcos0yy-psinO得，三条曲线在直角坐标系中的方程分别为:y=0y=yf3xx+y=l将他们的图像画在直角坐标系屮，得到图四:我们可以求出曲线尸辰与曲线x+尸1的焦点为P-13-坷?'2/故阴隐部分的面积为13-V3(3-V3224三、小结：通过对比，我们可以发现，在此题目中，用极坐标解题明显复杂些，但是，极坐标与直角坐标系是一一对应的关系，所以，可以用直角樂标系解题的也可以用极坐标系来做，在三角函数那部分，运用极坐标系，明显容易些。