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1、§2.3.2《双曲线的简单几何性质》教学设计中山市第一中学数学组孙卫强一、教学目标知识冃标：了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。能力目标：通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学牛运用方程研究双illi线的性质的能力.情感目标：使学牛在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、教学重、难点1.教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等儿何性质；2.教学难点：双曲线的渐近线.三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）……（师生共答）在椭鬪部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度來
2、研究椭闘的几何性质。那么，你认为应该22研究双Illi线二一占=1（。>°，b>0）的哪些性质呢？a~h~生：范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单儿何性质（二）讲授新课：我们先來研究-下焦点处标在x轴上的双
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4、线的简单儿何性质。221双曲线•-与=l（d〉0,h>0）的简单几何性质crb~（1）范围（PPT）从图形看，兀的取值范围是什么？师生：兀、0或兀222从标准方程能否得出这个结论呢？・・・倉=冷-1»0.・.斗>1,即兀2*2/.X><-ab_"a2y的范围呢？ygR（2）对称性（PPT）从图形看，双Illi线关于什么对称性？生：关于
5、x轴、y轴和原点都是对称的那么，类比椭闘几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？生：……（犹豫）提示：用-y代替原方程中的y,若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。同理，若用-兀代替原方程中的兀，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用-x,-y分别代替原方程中的圮八若方程不变，贝IJ该曲线关于原点对称。所以，双曲线是关J"x轴、y轴和原人I都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原心是对称中心，又叫做双曲线的中心。（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭鬪顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做戏曲线的顶点。由图形可以看到，双曲XV
6、线尹—萨=l（d〉0,b>0）的顶点有几个？顶点坐标是？（土G,0）虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把（0,土b）标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段AA叫做双曲线的实轴，它的长为2/。叫做半实轴长；线段B】B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长.我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：沪b。此时实轴2a和虚轴2b也是和等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为（4）离心率类比
7、椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比e上上，叫做双曲线的离心率。2aa椭圆离心率的范围是什么？（Ove<1）。它对椭I员I的形状冇何影响？（影响椭闘的扁平程度,e越大椭圆越扁）。那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？^0e对双曲线的形状有-何影响呢？通过几何画板演示，得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大（5）渐近线儿何画板演示：图1：初中学过，双曲线y=-的图像与x轴和y轴无限接近但不相交，那么x轴和y轴就是双曲线y=l-的渐近线，只不过双曲线y=-不在标准位置。图2：标准位置下的双
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9、线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双I
10、lli线特征矩形的对角线，其方程是y=±-xa圧义：特征矩形的陶条对角线叫做双Illi线的渐近线。双曲线匚―二=1(0>0/〉0)的渐近线方程是y=±-x即兰±2=0cTaabx屮的1改为0示得到新的方程冷注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程二=1(0>0,b〉0)cr}y=0(Q〉()e>0),它的解就是两条渐近线方程。(此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式)等轴双曲线F-y2=m(m工0)的渐近线方程是j=±x渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双Illi线的草图。(简述作图过程)卜•而，我们来研究一卜•焦点处标在y轴上的双曲线
11、的简单儿何性质。??双曲线才荒=1(6/>0">0)的简单几何性质(1)范围y>d或y<-axwR(2)对称性关于x轴、y轴、原点都对称(3)顶点(0,±g)(4)离心率a(5)渐近线"土兰兀即2±亠0bab此处渐近线方程和双］11
12、线方程的关系与前而类似。(三)例题讲解例1、求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.7?解：把方程9八16宀144化为标准方程詁『1.由此可知，半实轴长。=4,半虚轴长b=3・・・・c=J/+员
