双曲线的简单几何性质教学设计

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1、双曲线的简单几何性质一、学习目标知识目标:了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。能力目标:通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力.情感目标:使学生在合作探究活动中体验成功,激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1.教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2.教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线的哪些性质呢？范围、对

2、称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。1双曲线的简单几何性质（1）范围从图形看，的取值范围是什么？师生：从标准方程能否得出这个结论呢？的范围呢？（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x轴、y轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。同理，若用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用分别代替原方程中的，若

3、方程不变，则该曲线关于原点对称。所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲线的顶点有几个？顶点坐标是？虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A

4、2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长.我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为（4）渐近线图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。双曲线的渐近线方程是即注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将

5、双曲线方程中的1改为0后得到新的方程，它的解就是两条渐近线方程。（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式）等轴双曲线的渐近线方程是焦点在y轴上的双曲线的渐近线即渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作图过程）（5）离心率类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。椭圆离心率的范围是什么？（）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？由等式，可得：，不难发现：e越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大

6、，就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。e对双曲线的形状有何影响呢？得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大。（三）例题解析例1．求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程.由此可知，半实轴长，半虚轴长.所以，焦点坐标是离心率，渐近线方程是注：此问题由学生口答。练习：求双曲线的渐近线方程变式：已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线过点，求此双曲线的

7、标准方程解：设所求双曲线的标准方程可设为，由题意得解得所以，所求双曲线的标准方程为例2.如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．例3.过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点求｜AB｜解：直线AB：由消去y，得解得代入直线AB，得所以，（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1双曲线的简单几何性质2双曲线与渐近线（1）双曲线的渐近线方程是即（2）渐近线是的双曲线方程可设为（五）作业布置课本登封市2014—2015学年课堂教学达标评优

8、活动参评教学设计双曲线的简单几何性质单位：登封一中学科：数学主讲人：张凤娟《双曲线的简单几何性质》教学反思本节内容是人教A版选修2-1第二章第三节双曲线的第二课时，本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何