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1、运用“分拆”法证明一类轮换对称不等式徐彦辉(浙江省温州大学数信学院325035)纵观国内外数学奥林匹克屮的不等式试题，有不少试题是关于轮换对称的不等式，轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻•笔者最近发现运用“分拆法”可统一证明一类轮换对称不等式，特写岀来供大家参考.1・凑配型构造例1.已知a,b,ctR+，且a2+b2+c2=3,求证:/+戻>3.证明：由均值不等式得/+/+1n3/,戻+/?3+1>+c3+l>3c2,以上三式相加并整理得/+戾+c3>3(/"心-3=3.2例2.已知a、b、c为正数，求证：lcT+ab+b2+jb2+be+c2+y
2、lc2+ca+a2>fi(a+b+c).证明：由a2+方$>2ab得4(/+ab+b2)>3(a1+2ab+b?)=3(a+b)，,即2la2+ab+b2同理可得+bc+c，n*(b+c),2jc，+cci+a2»仮c+a),b4所以，2(J『+ab+F+岳+加+；+肿+%+心12的(a+b+c),故原不等式成立.例3•设。，伉ciR,求证:+匕+S?丄・4a4+b4+c4a4+4Z?4+c4a4+b4+4c42证明：由均值不等式得4a4+b4+c4=2a4+(a4+b4)+(a4+c4)?2a42a2b2+2ci2c2=2a2(a2+b2+c2),贝II/力4
3、a4+b4+c4'2aa2+b2+c2)2(/+戾+(?)'b4“b2c4同理，幵审E2(…齐E£23+夕+刊，"b4c4b4以上三式相加即得©+乞+U?1.4a4+b4+c4a4+4Z?44-c4a4+h4+4c42例4(1997年美国奥赛题)已知a,b、c为正数，求证:—::11:erb+ab1=cib{a+b)得abc<_ay+Z?5+abc~ab(a+Z?)+abca+b+cabcabcabcabc同理可得cibcvvbly+c3+abca+Z?+d+R+abca+b+cabca
4、bcabc所以，abc
5、如丨abc“故原不等式成立.cF+2+abc戾+0,由均值不等式得—+A（/7+c）>2d屈，等号成立当且仅当Z?+c壬W+c）咲需•又易知所证不等式等号成立的条件是—，此时T•则有若+宁S同理有瓷+守皿恙+字池，将这三个不等式相加化简即得所证不等式芒+2乞+二w+b+c.b+cc+aa+b例6.设G,b,c是正实数，且/+/+。2=3,求证：—+―^+―^>1.1+2ab1+2bc1+2ca证明：令A>0,由均值
6、不等式得_+兄（1+2必）>2似，此不等式等号成+2ab立条件是占"+2汤即宀甘•又易知所证不等式等号成立的条件是d=b=C=1,此时久=£・贝'JW—^+-(1+2^7)>-,同理有一!一+丄(1+2处)—^+1(1+2c6/)>-,1+2必93+2bc93l+2ca93将这三个不等式相加得，-J—^—^—+—^—>2--O+2cib^2bc+2ca)・1+2〃1+2力l+2ca9又由均值不等式可得，6=2（夕+戻+疋）2〃+2^+2«，代入上式得所证不等式侥+烏T佥汀例7.若州,心为小于1的正数口舛+召++呂=1,m,7iG/Vjlm>2,n>2,则—^+
7、―+Xj_X"x9—X；nmhn—:—心—x：；严—1证明:因兀w(0,1)(=1,2,/),则兀j-—=,代入上述nn気nm不等式化简即证得:―^+―+兀］_X"兀2~V3.线性构造例&设a,b,cwR-,且c
8、+b+c=l,求证:3+[+3+£十3+：朋.1+01+少1+C-证明：注意到a,b,cwR+,且在a=b=c=-时取得.不放设竺-3"(1-3〃)恒成立,31+『1+/化简可得（l—3d）（d——2）".欲满足构造条件，分子（i_3d）ar-2）必含113有(l-3d)2,(a-k-ka2)中必还含有(1-3°),则我们有-~k--k=Of解得k=—3V1U此时，許-3令亠）0牛謡&0.同理,y-jy_3<-
9、-(1-3/?),—-3<-^-(l-3c),+b~101+c10三式累力口得：-^+^^+^--9<—[(l-3^)+(l-3ft)+(l-3c)]
