一组轮换对称不等式猜想的证明.pdf

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1、投稿邮箱:sxjk@vip.163.com数学教数学教学通学通讯讯（（中等教师教版）育）竞赛园地一组轮换对称不等式猜想的证明杨浩辉浙江新昌县澄潭中学312530£摘要：本文用差分代换和放缩法证明了宋庆老师最近提出的两个轮换对称不等式猜想,并提出了两个相中关的猜想.等教育关键词：轮换对称不等式；猜想；差分代换近期’宋庆老师在《一些新发现的代数不等式及其精巧证y(x+y+z)(4y+2z+3xy+3yz+2zx+2y2+z2)≥0.(4)明》一文中提出了如下一组有趣的轮换对称不等式猜想:(x+2)(2x+y+

2、z+2)(x+y+z+2)(2x+2y+z+2)猜想1若a’b’c≥1’则不等式(4)显然成立.故当a≥b≥c时不等式(1)成立.a+1b+1c+1a+cb+ac+b②当a≥c≥b时’由a’b’c≥1可设c=1+x+y’b=1+x’a=1+x+++≥++.(1)b+1c+1a+1b+cc+aa+by+z(x’y’z≥0).从而不等式(3)等价于猜想2若a’b’c是正数’则(y+z)(x+y)-y(x+y+z)-(x+2)(2x+y+2)(x+y+2)(2x+2y+z+2)1+a21+b21+c2a+b+c

3、≥a+b+c.(2)√1+b2√1+c2√1+a2zx≥0本文将给出这两个不等式的证明.首先给出不等式(1)(x+y+z+2)(2x+y+z+2)的证明.↔y(x+y+z)+zx-y(x+y+z)-(x+2)(2x+y+2)(x+y+2)(2x+2y+z+2)证明:不等式(1)等价于zxa+1a+cb+1b+ac+1c+b≥0-+-+-≥0(x+y+z+2)(2x+y+z+2)b+1b+cc+1c+aa+1a+by(x+y+z)y(x+y+z)zx(a-b)(c-1)(b-c)(a-1)(c-a)(b-1

4、)↔-+-↔++≥0.(3)(x+2)(2x+y+2)(x+y+2)(2x+2y+z+2)(x+2)(2x+y+2)(b+1)(b+c)(c+1)(c+a)(a+1)(a+b)zx不妨设a=max{a’b’cπ’由轮换对称性’我们只需证明当a≥≥0(x+y+z+2)(2x+y+z+2)b≥c和a≥c≥b时不等式(3)成立即可.2y(x+y+z)(4y+2z+3xy+yz+zx+2y)↔+①当a≥b≥c时’由a’b’c≥1可设c=1+x’b=1+x+y’a=1+x+(x+2)(2x+y+2)(x+y+2)(

5、2x+2y+z+2)y+z(x’y’z≥0).不等式(3)等价于zx(2y+4z+2xy+2yz+3zx+y2+z2)≥0.(5)zxy(x+y+z)(x+2)(2x+y+2)(x+y+z+2)(2x+y+z+2)+-(x+y+2)(2x+y+2)(x+2)(2x+y+z+2)不等式(5)显然成立.故当a≥c≥b时不等式(1)成立.(y+z)(x+y)由①与②知不等式(1)成立.≥0(x+y+z+2)(2x+2y+z+2)下面给出不等式(2)的证明.zxy(x+y+z)证明:由算术-几何平均不等式及a>0

6、可得↔+-(x+y+2)(2x+y+2)(x+2)(2x+y+z+2)1+a2a(1+a2)a(1+a2)2a(1+a2)a=≥=zx+y(x+y+z)√1+b22222√(1+a2)(1+b2)(1+a)+(1+b)a+b+2≥0(x+y+z+2)(2x+2y+z+2)2zxzx1+b22b(1+b2)1+c22c(1+c2)↔-+同理b≥’c≥.(x+y+2)(2x+y+2)(x+y+z+2)(2x+2y+z+2)√1+c2b2+c2+2√1+a2c2+a2+2y(x+y+z)y(x+y+z)1+a2

7、1+b21+c22a(1+a2)-≥0因此a+b+c≥+(x+2)(2x+y+z+2)(x+y+z+2)(2x+2y+z+2)√1+b2√1+c2√1+a2a2+b2+2zx(2y+4z+xy+3yz+3zx+y2+z2)2b(1+b2)2c(1+c2)↔++.(6)(x+y+2)(2x+y+2)(x+y+z+2)(2x+2y+z+2)b2+c2+2c2+a2+263竞赛园地数学教学通数学教学通讯讯（（中等教教师版）育）投稿邮箱:sxjk@vip.163.com由不等式(6)知要证不等式(2)只要证(y+

8、z)(2x+y+z)(x+y+z)xy(2x+y)--2a(1+a2)2b(1+b2)2c(1+c2)2x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx+22x2+y2+2xy+2++≥a+b+ca2+b2+2b2+c2+2c2+a2+2z(2x+2y+z)(x+y)≥02a(1+a2)2b(1+b2)2c(1+c2)2x2+2y2+z2+4xy+2yz+2zx+2↔-a+-b+-c≥0a2+b2+2b2+c2+2c2+a2+2y(2