几个不等式猜想的证明与统一.pdf

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1、·20·中学数学研究2014年第7期充其量只能是一种模仿，其实，教师可以大胆的放手设），学生学得自主（因为不需认真听讲），别样的课让学生自己对学习的对象进行探索、研究，自己去获堂和精彩的生成.得.我们会发现：教师教得创新（因为没有课前预櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰櫰几个不等式猜想的证明与统一厦门大学附属实验中学（363123）田富德2宋庆先生在文［1］给出了4个不等式猜想，杨（tanA+tanB+tanC）≥tanA+tanB+tanC.故（2）志明先生在文［2］证明了文［1］的猜想1和猜想3，s

2、inA+sinB+sinCcosBcosCcosA又提出了4个猜想.本文拟给出文［1］猜想3和文［1］式成立，即猜想3.［2］的4个猜想的三角证明，并进行适当的统一推［2］仿上面的证明方法，可证文［2］中的猜想1广.［2］和猜想2，这里不详述.2［1］1+a猜想3若a，b，c是正数，则a+32槡1+b2［2］1+a猜想3若a，b，c是正数，则a·+222槡1+b1+b1+cb2+c2≥a+b+c.3232槡1+c槡1+ab·1+b+c·1+c≥a+b+c.22证明：因为a，b，c是正数，设a=tanA，b=槡1+c槡1+a证明：因为a，b，c是正数，设a=t

3、anA，b=πtanB，c=tanC，A，B，C∈（0，），则原不等式等价2πtanB，c=tanC，A，B，C∈（0，），则原不等式等价2222secAsecBsecC于tanA+tanB+tanC≥333222222槡secB槡secC槡secA于tanA·secA+tanB·secB+tanC·secC222tanA+tanB+tanC，（1）槡secB槡secC槡secAπ≥tanA+tanB+tanC，（1）因为A，B，C∈（0，），2π因为A，B，C∈（0，），cosBcosC2（1）式等价于tanA·+tanB·+tanCcosAcosBcos

4、B2cosC2（1）式等价于tanA·（）3+tanB·（）3cosAcosAcosB·≥tanA+tanB+tanC.（2）cosCcosA2+tanC·（）3≥tanA+tanB+tanC.（2）πcosC不妨设0﹤A≤B≤C﹤，则sinA≤sinB≤2π1不妨设0﹤A≤B≤C﹤，则（tanA）31112sinC，≤≤，由排序不等式，有tanA+cosAcosBcosC21212（sinA）3≤（tanB）3（sinB）3≤（tanC）3（sinC）3，sinAsinBsinCsinAsinBtanB+tanC=++≥++111cosAcosBcosCc

5、osBcosC2≤2≤2.由排序不等式，有sinC（cosA）3（cosB）3（cosC）3（3）.12cosA（tanA）3（sinA）3tanA+tanB+tanC=+由柯西不等式及（3）式，有2（cosA）3cosBcosCcosA1212tanA·+tanB·+tanC·≥（tanB）3（sinB）3（tanC）3（sinC）31cosAcosBcosC+≥（tanA）3·22（tanA+tanB+tanC）2（cosB）3（cosC）3=cosAcosBcosCsinA21cosB21tanA·+tanB·+tanC·（）3+（tanB）3·（）3

6、+（tanC）3·cosBcosCcosAcosBcosC2014年第7期中学数学研究·21·cosC22cosB2（）（33）.由柯西不等式及（3）式，有（tanA）3·（）3cosAcosAcosB22cosC22cosA2由柯西不等式及（3）式，有tanA·（）3++（tanB）3·（）3+（tanC）3·（）3≥cosAcosBcosC222cosC2cosA2［（tanA）3+（tanB）3+（tanC）3］2tanB·（）3+tanC·（）3≥cosBcosC2cosA22cosB22cosC2（tanA）3·（）3+（tanB）3·（）3+（t

7、anC）3·（）3cosBcosCcosA2（tanA+tanB+tanC）=2222cosA2cosB2cosC2［（tanA）3+（tanB）3+（tanC）3］2tanA·（）3+tanB·（）3+tanC·（）3=≥（tanA）3+cosBcosCcosAsinA2sinB2sinC2（）3+（）3+（）32（tanA+tanB+tanC）cosBcosCcosA1sinA21cosB21cosC2（tanA）3·（）3+（tanB）3·（）3+（tanC）3·（）322cosBcosCcosA（tanB）3+（tanC）3.≥tanA+tanB+t

8、anC.故（2）式成立，即定理1成立.［2］故（2）