循环小数的几个猜想的证明及推广

《循环小数的几个猜想的证明及推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃莀袅聿腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃蒈螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄衿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节蒂蚈羅膈蒂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂芄薈袇芈膀薇罿肀葿薆虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂袈肅莈蚁羀羈芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃莀袅聿腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃蒈螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄衿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节蒂蚈羅膈蒂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂芄薈袇芈膀薇罿肀葿薆虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂袈肅莈

2、蚁羀羈芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃芇芃莀袅聿腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃蒈螀芃艿蒇袂肆膅蒆肄衿薄蒅螄膄蒀蒄袆羇莆蒃罿膃节蒂蚈羅膈蒂螁膁蒆薁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂芄薈袇芈膀薇罿肀葿薆虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇蚄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂袈肅莈蚁羀羈芄蚀蚀膃膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄螈羇羅芀螇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅羁膈蒁螅肃肁莇螄螃循环小数的几个猜想的证明及推广蒋晓云1，2（1南京师范大学数学与计算机科学院江苏南京210097；2桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系广西桂林541001）摘要：陕西师范

3、大学宋佳经过大量实际数值计算，提出了关于循环小数的几个猜想[1]，本文给出了这些猜想的证明并对猜想进行了推广，拓展了中小学数学课程资源。关键词：循环小数；猜想；数论1引言为了叙述的方便，我们约定：既约分数（ｐ是素数，且）可化成循环小数,最短循环节形式的循环小数我们称之为p-小数；最短循环节的长度称为该小数的长度。我们不妨设既约分数是真分数，即，这是因为对于既约分数（n>p），由带余除法n=pm+r（m为整数，r

4、经过大量实际计算，提出了关于循环小数的几个猜想[1]：猜想1：p-小数的长度是p-1因子。猜想2：所有的p-小数的长度都相等。猜想3：一旦掌握了一个p-小数，把该小数的各位数字依次轮换，所得到的结果仍为p-小数。2猜想的证明我们知道，初等数论中有一个著名的定理：费尔马(Fermat)定理：若p为一个素数，a是任意非负整数，则定理1：（素数,）可以化为纯循环小数。证明：素数，从而有（p,10）=1,由费尔马定理，我们有，p与10互素，所以，从而有整数c，使得，推出——————————作者简介：蒋晓云（1

5、963—），男，广西桂林人，南京师范大学数学与计算机科学院访问学者，桂林师专副教授，主要研究方向为数学教育。，故，由于q

6、k是满足的最小正整数。即p-小数（素数,）的长度k只依赖于p，而与q无关。从而我们可以确认猜想2是正确的，猜想1的证明：p-小数的长度是满足的最小正整数k，素数，从而有：（p,10）=1,由费尔马定理，我们有，p与10互素，。由带余除法，存在非负整数m和r，使得，所以，由，有，即，由k的最小性得r=0，从而得到k是p-1的因数。猜想3的证明首先证明：（素数,）是一个p-小数，则也是一个p-小数。设（素数,）是一个p-小数，则=，等式两边乘以10，可推出=所以=，故有，即。又(p,q)=1,且，即有（p

7、,10）=1,从而有；，所以，从而有，故，是一个p-小数。若（素数,）是一个p-小数，我们反复应用上述结论，可以得到，，……，，均为p-小数，我们实际上已证明了猜想3。2猜想的推广欧拉定理：m>1,(a,m)=1,则，其中表示小于m且与m互素的自然数个数。既约真分数（，当时可化为循环小数，最短循环节的循环小数形式我们将之称为b-小数,最短循环节的长度称为该b-小数的长度。通过类比迁移，我们可将猜想1和猜想2推广为：命题1：（1）b-小数的长度是欧拉函数值的因数。（2）所有的p-小数的长度都相等。证明：

8、（1）既约真分数（，当时，由欧拉定理有：，则存在整数c，使得，从而有，故，由于a