[考研数学]循环小数的几个猜想的证明及推广

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1、循环小数的几个猜想的证明及推广蒋晓云1，2（1南京师范大学数学与计算机科学院江苏南京210097；2桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系广西桂林541001）摘要：陕西师范大学宋佳经过大量实际数值计算，提出了关于循环小数的几个猜想[1]，本文给出了这些猜想的证明并对猜想进行了推广，拓展了中小学数学课程资源。关键词：循环小数；猜想；数论1引言为了叙述的方便，我们约定：既约分数（ｐ是素数，且）可化成循环小数,最短循环节形式的循环小数我们称之为p-小数；最短循环节的长度称为该小数的长度。我们不妨设既约分数是真分数，即，这是因为对于既约分数（n>p），由带余除法n=pm+r

2、（m为整数，r

3、—————————作者简介：蒋晓云（1963—），男，广西桂林人，南京师范大学数学与计算机科学院访问学者，桂林师专副教授，主要研究方向为数学教育。，故，由于q

4、数（素数,）的长度k只依赖于p，而与q无关。从而我们可以确认猜想2是正确的，猜想1的证明：p-小数的长度是满足的最小正整数k，素数，从而有：（p,10）=1,由费尔马定理，我们有，p与10互素，。由带余除法，存在非负整数m和r，使得，所以，由，有，即，由k的最小性得r=0，从而得到k是p-1的因数。猜想3的证明首先证明：（素数,）是一个p-小数，则也是一个p-小数。设（素数,）是一个p-小数，则=，等式两边乘以10，可推出=所以=，故有，即。又(p,q)=1,且，即有（p,10）=1,从而有；，所以，从而有，故，是一个p-小数。若（素数,）是一个p-小数，我们反复应用

5、上述结论，可以得到，，……，，均为p-小数，我们实际上已证明了猜想3。2猜想的推广欧拉定理：m>1,(a,m)=1,则，其中表示小于m且与m互素的自然数个数。既约真分数（，当时可化为循环小数，最短循环节的循环小数形式我们将之称为b-小数,最短循环节的长度称为该b-小数的长度。通过类比迁移，我们可将猜想1和猜想2推广为：命题1：（1）b-小数的长度是欧拉函数值的因数。（2）所有的p-小数的长度都相等。证明：（1）既约真分数（，当时，由欧拉定理有：，则存在整数c，使得，从而有，故，由于a

6、得到：b-小数的长度是k的充要条件是：k是满足的最小正整数。(证明过程略)b-小数的长度是满足的最小正整数k，由带余除法，存在整数m和r，，从而,，由（b,10）=1,又有，从而有，即，由k的最小性得r=0，从而得到k是的因数。（2）据上所述b-小数（,）的长度k只依赖于b，而与a无关。从而我们可以确认所有的b-小数的长度都相等。对猜想3也可以作进一步的研究和推广，得到命题2：命题2：设b-小数（）的长度为k，则（1）所有的b-小数共有个。（2）全体b-分数可以分为类，每一类有k个b-分数，同类所有b-分数的循环节都是某一b-分数循环节的一个轮换，即只是陆续把循环节首

7、位的数码变为末位。证明：（1）b-小数的个数其实就是满足条件的a的个数。（2）设（）是一个b-小数，则=，等式两边乘以10，可推出=所以=，故有，即。又(a,b)=1,且（p,10）=1,从而有；，所以，从而有，故，是一个b-小数。重复上述步骤，可以得到，，……，都是b-分数。为了叙述方便，我们把称为的i-轮换。可以证明当k>1时，k个轮换是互不相同的b-分数，设（），若,不妨i1矛盾。所以，若时，i-轮换与j-轮换是不同的。规定：（）的b-分数是的b-分数的一个轮换。显然上述关系R为等价关系，它的等价分类就是全体