几个常见分式不等式的统一╲〞半对称╲〞证明

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1、2006年杭州市数学会评选论文几个常见分式不等式的统一“半对称”证明一．问题的引出不等式的证明因为变化万千，很多不等式的证明构思新颖，解答巧妙，耐人寻味。但很少有简洁的统一的证明方法。在不等式证明的过程中，人们始终在寻找一种比较简洁的方法，如：“已知，证明。”由，知；同理。把上述两式相加即得证。上述证明是该问题的一种最简洁的证明，这里我们把“”或“”叫作对称不等式“”的半对称不等式（也由作者把它叫做“零件不等式”）。显然几个半对称不等式的和或积即可构成我们要证明的对称不等式。本问试图通过一些例子对一类竞赛对称不等式给出统一的寻找“半对称”不等式的

2、方法。不当之处忘专家指正。二．简证一些问题例1（2004年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题）已知，求证：．证明设，则有，又．令，即．所以，同理可得：，．以上三式相加即有．例2（2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛）设，且，求证：．证明设，则．又．令，即得．所以，同理可得：，．上面三式相加即得．例3[1]设，求证：．证明设，则．又．令，即．所以，同理可得：，．上述三式相加即得，显然等号不可同时取到，故．例4（第41届IMO试题）对所有实数，证明：．证明设，则，即．展开化简得：．又由均值不等式得：．令，解得．所以有，同理可得：，．上述三式相加即

3、得：．例5已知且，求证：．证明设，则，又由均值不等式得：．令，解得．所以有，同理可得：，．上述三式相加即得：．三．反思1．构造“半对称”不等式一直是人们梦寐以求的方法，本文只是对一类问题给出了一种构造“半对称”不等式的方法。但离这类问题的解决还很远，望有更多的同仁来参与解决。2．这也为我们开展研究性学习带来了丰富的问题。3．对称不等式的证明千变万化，留心处处皆问题，这也为我们年轻数学教师提升自己的解题能力找到了一片天空。对在本文写作过程中对笔者支持和帮助的老师和我的学生表示衷心的感谢！参考文献[1]笔者《一个分式不等式的简证》，中学生数学（北京）

4、，2002（10）[2]徐文兵《用零件不等式证明一类带界分式不等式》，数学通讯，2004，5[3]蒋明斌《用零件不等式证明一类积式不等式》，数学通讯，2004，17