专题(六)函数与解析几何

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1、专题（六）解析几何与导函数班级姓名一、转化为函数求最值22如图，点P（O,-1）是椭圆C

2、:仔+与二1（。>方〉0）的一个顶点，G的长轴是圆C2:x2+y2=4的直crtr径.心厶是过点P且互相垂直的两条直线，其中/.交圆C2于两点，12交椭圆C.于另一点D（1）求椭圆G的方程；（2）求AABD面积取最大值时直线厶的方程.2【答案】解：（1）由已知得到b=l,且2d=4・・・a=2,所以椭圆的方程是—+y2=1;4（II）因为直线厶丄厶，且都过点m-1）,所以设直线ll:y=kx-l=>kx-y-l=Of直线l0•y=---x-=>兀+£ky+k4),所以圆心(0,0)到直线l：y=

3、kx—=kx—y-i=0的距离必7?存所以直判被圆XW十截的弦込2仁扎节狞x+ky+k=0由］兀2n疋”+4/+8尬=0,所以—+V=1〔4•64k2_8k.nD._I1、6*_8x//+l”力+"=-刁JDP'=f*R疋可=KT，所以22Jl+疋L+4k+44£'+3+1332丁4疋+34心+3

4、13J4疋+3丁4疋+3当如2+3=/门=>阿+3宀”"土罟时等号成立，此时直线小二、定点问题己知动圆过定点力(4,0),且在y轴上截得的弦胚V的长为&(I)求动圆圆心的轨迹Q的方程；若X轴是ZPBQ的角平分线，证明直线/过定点.【答案】解(II)已知点^(-1,0),设不垂直于X轴的直线/

5、与轨迹C交于不同的两点gQ：(1)水4,0),(x,yMN线段的中点为E,由几何图像知ME=^-,CA2=CM2=ME2+EC2=>(—4)2+才二4?+,二8x(II)设曰>1，卩),。(兀2』2)，由题知Y1+丁2工°，歹』2<0,昇=8西,旳？=8X2.x1+l勺+产林二曲"35)+爪22+忙0=8+沖=0直线PQ方程为：y-风=―(兀一兀］)=>歹一卩=(8x-yj2)无2—坷力+>'12nW%+必)一/(力+x)=8x—yi亠只力+卩)+8=8兀=>丿=0,兀=i所以，直线PQ过定点(1,0)三、定值问题221.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案)

6、)设椭圆^-+^-=1(6/>/2>0)的ab左焦点为〃；离心率为斗，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为芈.(I)求椭圆的方程；(II)设A,〃分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,〃两点.若ACDB+AI>CB=S,求斤的值.【答案】(18)本小题主婆考ftWilMI的标准方程和几何性质、任纨的方程.向*的运算霁狂咄知识.考査用代数方法硏究圆锥曲线的性质.考夜运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.[(I)解：设F(~c.0)・由£=遇，知。二辰.过点F且与x轴垂II的宜线为“Y.a3代入椭伽方程有甲+三=1.解得y=±凰,于是啤=洋,解1

7、96=72.又a*b33u爭

8、』畔a3~c:=fe2・从而a=JLc=I.所以楠圆的方程为壬+牛=1・(II)解：设点CU・Dm由F(-I.o)得直线3的方程为2如),y=^（x+l）t由方程组V*—+-—=1132消去y・整理得（2+3T）H+6Fx+3F-6=0.求解可得坷+无=-缈H,XjX,=^—TTJ-因为应』・0）.B血射,侨以2+3<2+菲疋•丽+丽后=（斗+冉乃）・（的-心-划）+（巧+也儿）"-冲-片）=6-2XjX2-2yiy:=6-為勺一2A2（斗+1）（勺+1）^6-（2+2k2^x.-2kxx^x2）-2k当kWO时，求函数f(X)的单调性=6+2F+1224

9、3亡山已知得盼先护解得k=±&・四、存在性问题兀21.(2013年高考北京卷(理))已知A、B、C是椭圆//:—+/=1±的三个点，0是坐标原点.4•(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(TI)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解：⑴椭圆於—+/=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形，所以AC4与0B相互垂直平分.所以可设A(l,加)，代入椭圆方程得丄+m2=l,即加二±J3.所以菱形42OABC的面积是-

10、OB

11、-

12、AC

13、=-x2x2

14、m

15、=V3.22仃I)假设四边形OABC为菱形.因为点B不

16、是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=Ax+m(k丰0,mH0)•If+4v?=4由｛7消去y并整理得(1+4Z:1若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的収值范围。三、导数与不等式已知函数f(x)=alnx+l(aAO)、•(1(1)当xAO时，求证：f(x)Ta1;IX丿(2)在区间(1,e)上f(x)Ax恒成立，求实数a的取值范围。四、导数与方程已知函数f(x)=21nx-x2+gR).仃)当a二