第二讲：函数概念

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1、第二讲函数概念与性质【例题选讲】一、函数的定义【例1-1】若函数八｛1,血｝—｛1,血｝满足/•[/(%)]>1,则这样的函数共有—个.【解】：易知,广｛1,血｝—｛1,血｝的函数共有：2x2=4个,分别为[1TI—

2、宀1；②1^72近T近1T1；@1T0—其中,满砂站的只有②忖爲,•••只有1个.【解】：法一：特值猜想法由于(兀+1)=/(兀)+1得:/⑴"0)+1;/(2)=/(1)+1=/(0)+2;/⑶=/(2)+1=/(0)+3;猜想:/(x)=/(0)+x;若/(0)=0,贝Ijy=/(兀)与丁=x有无数个交点，即重合

3、.若/(0)丰0,贝！[y=f(x)^y=X没有交点，即平行.【例1・1】•集合4=｛a#,c｝,〃=｛一1,0,1｝,从A到B的映射*/满足/'(a)=/3)+/(c),那么这样的映射/的有个.【解】：7个【例1-2】设函数y=/(兀)满足/(x+l)=/(兀)+1,求函数y=/(工)与丿=x的交点的个数.法二：累加法由/(兀+1)=/(x)+1得:f(x+1)-/(x)=1,则/(x+l)-/(x)=l;/(x-l)-/(x-2)=l;/(2)-/(1)=1;/(1)-/(0)=1累加得:/(X)一/(0)=x3P/(x)=/

4、(0)+X,下同解法一.【例1-3】•将函数尸J-兀'+2兀+3-V3(xg[0,2])的图象绕坐标标原点逆时针旋转&(&为锐角)，若所得曲线仍是一个函数图象，则&的最大值为_【解】：如图，作ihy=V-x2+2x+3-V3（xg[0,2]）fi

5、&（0

6、为1,-1；工2=4的解为2,-2・・・・组成定义域D的元素只能从±1,土这四个数中选取,分两步选取：第一步:从土1中至少选一个，有1,-1,±1三种方法；第二步：从±2中至少选一个，有2,-2,±2三种方法；故定义域的种类个数为：3x3=9.【变式1-3】•如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为同族函数，给出下列函数：①(x)=sinxcosx;②f(x)=V2sin2x+2;®f(x)二2sin(x+—);®f(x)=sinx-a/3cosx;4其中属于同族函数的是・【解】:③④【变式1-4】・函数/(兀)的定

7、义域为A={1,2,3,4},其值域为〃二{0,1,2,3},则不同的函数门兀)的个数为・【解】：由题意可知，函数f：AtB满足一一对应，故不同的函数的个数为：4!=24二、函数的解析式【例2-1】•已知/(工)+/(I--)=0),求/*(兀)的解析式.【解]:f(x)-bf(l--)=l-x……①X将①中的兀用□代换得到：/(□)+/(亠)二竺丄……②XxI-XX再将①中的工用亠代换得到:/(亠)+/(x)=戶……③1—X1—X1—X^[1+①+③—②宙C兀'一兀“一1n1则由1得:/(工)=~-—(兀工0,兀H1)・2兀

8、~-2xL变式2-1】•已知函数/(兀)满足:/(1-兀)=2f(x)-x2^f(x)【解]:/(l-x)=2/(x)-x2……①以1-x代换兀得到:/(x)=2/(l-x)-(l-x)2……②91由①②解得:f(x)=x2-一X+-.23【例2-2】•已矢n/(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且/(X)—g(x)=X3+X2+1,则/⑴+g(l)=()A.-3;B.-l;C.l;D・3【解】：由已知可得：/(-X)一g(-x)=-x3+x2+l,BP/(x)+g(x)=-x3+x2+l,-^/(x)-g(x)=X

9、3+x2+1联立,解得:/(X)=x2+l,g(x)=-x/./(l)+g(l)=1•选C・【变式2-2】•若函数/*(工)店(工)分别是R上的奇函数,偶函数，且满足:f(x)-g(x)=ex9则有()4/(2)