第3讲《函数的概念》

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1、四川省德阳中学高2011级复习第一章《集合与函数的概念》第3讲函数及其表示函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础。高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解。1．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等。2．重视“数形结合思想”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷

2、入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。3．强化“分类讨论思想”应用。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。4．掌握“函数与方程思想”。函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高。函数的思想包括运用函

3、数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。【例1】下列式子是否能确定y是x的函数？（1）x2+y2=1；（2）+=1；（3）y=+。122xyO①y122xO②122xO③y122xO④y【强化训练】设集合M={x

4、0≤x≤2}，N={x

5、0≤y≤2}，从M到N有四种对应如图所示：其中能表示为M到N的函数关系的有________________。答案：②③【强化训练1】函数y＝f(x)的图象的只可能是图中的(　C　)7【强化训练2】下列数集之间的对应，不是函数的是(　　)（A）D＝{x

6、x＝1，2，3，4，5}，M＝{y

7、y＝1，4，9，16，25}，对应

8、法则：y＝x2；（B）D＝{x

9、－1

10、0≤y<1}，对应法则：y＝x2；（C）D＝{x

11、x∈R}，M＝{y

12、y∈R＋}，对应法则：y＝；（D）D＝{x

13、0≤x≤4}，M＝{y

14、0≤y≤2}，对应法则：y=；解：选C.判断两数集间对应是否为函数，从三方面入手，①看A中的x是否能使f有意义；②看A中x在B中是否有唯一的一个y与之对应；③B中y是否都有A中的x与之对应。【例2】试判断下列各组函数中，是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=与g（x）=；（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1；（4）f（x）=，g（x）=；

15、（5）f（x）=x2－2x－1，g（x）=t2－2t－1。【强化训练3】设有函数组：①f（x）=，g（x）=x+1；②f（x）=，g（x）=；③f（x）=，g（x）=

16、x－1

17、；④f（x）=2x－1，g（x）=2t－1。其中表示同一个函数的有___________。答案：③④分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同。解：在①中，f（x）的定义域为{x

18、x≠1}，g（x）的定义域为R，故不是同一函数；在②中，f（x）的定义域为1，+∞，g（x）的定义域为－∞，－1]∪1，+∞，故不是同一函数；③④是同一函数。点评：两个函数当它们的三要素完全相

19、同时，才能表示同一函数。而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可。【例3】给出如下三个等式：（1）f（x+y）=f（x）+f（y）；（2）f（xy）=f（x）+f（y）；（3）f（xy）=f（x）f（y），则不满足其中任何一个等式的函数是（）（A）x2（B）3x（C）lgx（D）sinx【点击考点】考查函数的意义7【例4】已知函数f（x），g（x）同时满足：g（x－y）=g（x）g（y）+f（x）f（y）；f（－1）=－1，f（0）=0，f（1）=1，求g（0），g（1），g（

20、2）的值。【解】令x=y得：.再令，即得。若，令时，得不合题意，故；，即，所以；那么，.【例5】给出函数f（x）=，则f（log２３）＝（）A.－　　　　　　B.　　　　　C.　　　　D.【点击考点】考查分段函数与函数的概念【强化训练4】（2012年高考江西理）若函数f(x)=，则f[f(10)]=（　　）（A）lg101（B）b（C）1（D）0【例6】函数y=f（x）对于一切实数x均有f（x+y）－f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0。（1）求f（0）的值；（2）当f（x）+x＜logax，x∈（0，）恒成立时，求实数a的取值范围。【点击考点】考

21、查抽象函数意义的理解。【强化训练5】（