第2讲、函数概念的深入理解

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1、第二讲、函数概念的深入理解板块一、映射知能点全解：知能点一：映射的概念设、是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合、，以及对应关系）叫做集合到集合的映射，记作：。知能点二：像与原像的概念给定一个集合A到集合的映射，且，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的像，元素叫做元素的原像。特别提醒：1、对于映射→来说，则应注意理解以下四点：（1）集合中每一个元素，在集合中必有唯一的象；（2）集合中不同元素，在集合中可以有相同的象；（3）允许集合中的元素没有象；（4）集合中的元素与集合

2、中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。2、集合、及对应法则是确定的，是一个系统；3、对应法则有“方向性”。即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；例1：给出下列关于从集合到集合的映射的论述，其中正确的有_________。①中任何一个元素在中必有原象；②中不同元素在中的象也不同；③中任何一个元素在中的象是唯一的；④中任何一个元素在中可以有不同的象；⑤中某一元素在中的原象可能不止一个；⑥集合与一定是数集；⑦记号与的含义是一样的．答案：③⑤及时演练，，，，．在的作用下，的原象是多少？14的象是多少？解：由，解得，

3、故的原象是6;又，故14的象是知能点三：一一映射一般地，设，是两个非空的集合，→是集合到集合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的不同的元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到的一一映射。特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：1、对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，也就是说，不允许“多对一”；2、集合B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合中不允许有剩余的元素。例2：下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射?判断哪些是到的一一映射?(1)，对应法则；第14页（共14页）(2)，，，，；(3)，，对应法则取正弦；(4)，，对

4、应法则除以2得的余数；(5)，，对应法则；(6)，，对应法则作等边三角形的内切圆。解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合中有些元素(正整数)没有原象；(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数；(3)是映射，是一一映射，因为集合中的角的正弦值各不相同，且集合中每一个值都可以是集合中角的正弦值；(4)是映射，不是一一映射，因为集合中不同元素对应集合中相同的元素；(5)不是映射，因为集合中的元素(如4)对应集合中两个元素(2和-2)；(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一

5、个等边三角形的内切圆。边长不同，圆的半径也不同拓展知识点：1、设集合有个元素，集合有个元素，那么映射的个数为；映射的个数为。2、设集合、都有个的元素，那么到的一一映射的个数为例3：已知集合，那么到的映射的个数为256个；到的一一映射的个数为24个。板块二、函数的相关概念知能点全解：知能点一：函数的概念设、是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数y=f(x)的值域.特别注意

6、：1、函数实际上就是集合到集合的一个特殊映射，其特殊处主要在于集合,为非空的数集；其中定义域，就是指原象的集合，值域，就是象的集合。2、函数符号表示“是的函数”，应理解为：（1）是自变量，它是关系所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；（2）符号仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”，也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号外，还常用等符号来表示。3、判断两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：（1）的取值集合是否为空集（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。例4：下列

7、各式能否确定是的函数？第14页（共14页）（1）；（2）；（3）解：（1）不能。由得出，所以当时，，故不符合函数的定义；（2）能；（3）不能。因为。知能点二：函数的值表示当时，函数的值，这个值就由“”这一对应关系来确定；与是不同的，前者表示以为自变量的函数，后者为常数例5：已知，则；；；；。答案：-1；41；；；。知能点三：函数的三要素我们通常把对应法则、定义域A、值域称为函数的三要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个