第六讲行程问题8-时钟问题

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1、第六讲行程问题（8）——时钟问题【知识精要】同学们有没有注意过墙上挂的大钟或者手上的手表，以大钟为例子，钟上面有三根针:时针分针和秒针，有的时候，这些指针会形成独特的图形，比如12点整的时候，三根针会重合12点的那个地方，而6点整的时候，时针和分针会成一条直线，其中时针指6,分针指12。如果形象地去想象，12点的时候，就好像三根针在同一起跑线上开始出发，秒针跑得最快，很快就走过了一圈又一圈，分针慢一些，一步一步挪着步子，而吋针就像一个年迈的老人，老半天才能走一格，这样的赛跑每天每时每刻都在进行，这一讲,我们就来探讨时针分针秒针他们赛跑的问题，这也可以看作一类行程问题，我们就来看看其中的奥妙。既

2、然我们把这类问题看做行程问题，就会遇到行程问题一个一贯的问题：路程，速度与时间之间的关系，可是既然是在时蚀上做文章，时间肯定不成问题，时针分针秒针自己的运动就代表着时间的标准，但是路程和速度如何计算呢？同学们肯定能想到，整个钟面就像一个环形跑道，那么时钟问题也一定和环形跑道有着千丝万缕的联系，再想得深刻一点，我们可以发现，时针分针秒针都是沿着同样的方向，就是我们平时所说的“顺时针”方向在移动，既然不存在相向和相背的运动，这类问题就只剩下追及问题了，所以时钟问题抽象出来，实质就是环形跑道上的追及问题。可是上面的问题还没有解决，如何来衡量路程和速度，不同的钟面大小不一样，钟楼顶层的大钟，半径可能有

3、好儿米，而我们平时手上戴的手表，半径才1厘米左右，这样，我们的速度和路程也就变得非常复杂，有没有什么可以简单计算的方法呢？我们知道,生活常识告诉我们，秒针每分钟走一圈，分针每小吋走•一圈，而时针呢，要12小时才能走一圈，如果我们把钟面按照刻度划分成12个格子的话，就相当于时针每小时走1格，分针每小时走12格，如此等等，如果再仔细想一想，如果我们把蚀而看作一个普通的圆，刻度就是在圆周上的12等分，把等分点和圆心相连，就得到12个30度的圆心角，而三根时针正是在“跑”这样的圆心角，一圈的路程就是360度，而每一格就相当于30度，这样形容速度，所有的钟面就都很清楚了，时针每小时走一格就是60分钟走3

4、0度，相当于每分钟0.5度，分针每小时走一圈就是60分钟走360度，相当于每分钟6度，而秒针每分蚀就能走一圈，也就是每分蚀360度，这样他们的速度也就能表示出来了，当然，我们还可以用小时或者秒来作为时间的单位，之间的换算关系如下表所示:每小吋每分钟每秒时针速度30度丄度21心度120分针速度360度6度1缶一度10秒针速度21600度360度6度既然速度用角度作为计量，同样的，路程也应该用角度作为计量，这样钟血这样一个“环形跑道”，它的路程就是一圈360度，而我们的题目，也往往就是用两个针之间所成的角度来衡量他们之间的“距离”的，解决的思路和普通行程问题里的追及问题没有两样，我们将在题目屮具体

5、讲述。【例题精选】【例1】指出下列时间里，时针和分针所成的角度：（1）22点；（2）6点；（3）3点；（4）4点30分；（5）3点20分；（6）7点32分。【分析】这个题目的意思很明显，是让我们来认识在时钟问题屮的“路程”，前面的【知识精要】里已经指出，这里的时钟问题中的路程指的是角度，因此，解决时钟问题，首先要会计算不同的吋I'可，所成的角度是多少。计算指针之间的夹角往往有两种方法，一种是画出指针的位置，然后直接计算，一种是从某一个时间开始计算，然后看两个指针移动了多少度，然后就可以得出具体最后是多少度角了。【解答】（1）12点的时候，时针和分针重合在12点的刻度上，因此角度为0°。（2）6

6、点的吋候，吋针指向6点刻度，分针指向12点刻度，之间相差6格，因此角度为180°。（3）3点的时候，时针指向3点刻度，分针指向12点刻度，之间相差3格，因此角度为90°-（4）4点30的时候，分针指向6的刻度，时针指向4和5刻度的中间，之间相差一格半，因此角度为45°。（5）3点10分的时候，分针指向2的刻度，时针在3的刻度后过了10分钟，10分钟时针可以走丄X10=5°,因此之间相差1格加上5°，为35°o2（6）7点32分的时候，是从7点30分之后过了2分钟，7点30分的时候，分针指向6的刻度，吋针指向7和8的中间，之间相差1格半为45°,且吋针在前（按照顺吋针方向看），过了两分钟，时针走

7、了丄X2=l°,分针走了12°,因此之问的角度为245。+1。一12。=34。。【评注】这个题目属于时钟问题的初级问题，主要是让大家熟悉一下具体时间的角度的计算，这个是解决这类问题的基础，只有很快能计算出任何吋间所夹的角度，才能在后面问题的解决里占尽先机，另外要提醒大家的是，解决这类问题，一定要脑子里有一个钟的形彖，如果不好想彖的情况，就要学会画图来解决。【举一反三】1，计算下列时间的时候，时针和