第24讲时钟问题

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1、第24讲时钟问题"时间就是生命”。口从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的5-60=^o时钟问题经常围绕着两针（指时针与分针，下同）重合、两针垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为吋针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。例1现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所示，2点分针指向12,时

2、针指向2,分针在时针后而5X2=10（格）o因为时针速度是分针的占所以分针走1格，时针走君格,分针比时针多走1一£=吕〔格）°分针要比时针多走10格，需走10吕（格），即10罟分钟。解：5X2*（1-右）=10罟（分）o答：2点10罟分时针与分针第一次重合。例2在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分析与解：7点时分针指向12,时针指向7（见右图），分针在时针后面5x7=35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：3）顺时针方向看，分针在时针后而15格。从7点开始,分针要比时针多走35-15=20（格），需1Q920*（1-正）=

3、21yy（分）。此时是7点21yy分。（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35+15=50（格），需50（1-^）=54（分）o此时是7,^54^分。所求时刻是7点21善分或7点54春分。例3在3点与4点Z间，时针和分针在什么吋刻位于一条直线上？分析与解：3点吋分针指向12,吋针指向3（见右图）,分针在时针后面5x3=15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180。角两种情况（见下图）：（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15十（1-p）=16右（分）。此时是3点16订分。（2）时针与分针成180。角

4、。从3点开始，分针要比吋针多走15+30=45（格）,需45*（1-£）=49+（分）。此时是3点49+分。所求时刻是3点16善分或3点49卡分。例4晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片,开始吋分针与吋针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°,结朿时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为30*(1-g)=32詈(分)。例1〜例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出

5、准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差,因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。例53点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走,时针和分针和遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。分针速度为每分钟一格，时针速度为每分钟右格，列成算式是:11?191115“肖“善"存喘（分儿3点13半分，时针与分针在T”的两侧，且离“3”的距离相等。例6小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上吋针、分针的位置正好与开始吋吋针、分针的位置交换了一下。小明做作

6、业用了多少时间？分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B,分针从B走到A,两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的距离和是60格，分针每分钟走1小格，时针每分钟走土小格。那么两针相遇时间是：60*（l+g）=55右（分）。时钟问题分针每分钟旋转的速度：360。一60=6。时针每分钟旋转的速度：3607(12x60)=0.5°在钟面上总是分针追赶时针的局面，或是分针超越时针的局面。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟而上两针的运动是一类典型的追及行程问题。例1钟而上3时多少分时，分针与时针恰好重合？分析正

7、3时时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90。。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在正3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走90%而可知毎分钟分针比时针多行走6-0.5=5.5(度)。相应的所用的时间就很容易计算出来了。解360-12x3=90(度)90+(6—0.5)=90-5.556.36(分)答两针重合时约为3时16.36分。例2在钟而上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？分析在正5时时，