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1、4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义都昌三中高一数学组问题引航1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、余弦函数的定义域是什么？2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？3.任意角的三角函数的定义是什么？锐角的正弦、余弦函数的定义：对边邻边斜边以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆．x(1,0)OP(u,v)αyMx当点P(u,v)就是的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数定义：xyOP(u,v)αA(1,0)（1）v叫做α的正弦，记作sin
2、α，即sinα=v；（2）u叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=u如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.角(弧度数)实数三角函数可以看成是自变量为实数的函数一一对应定义域函数1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数vu全体实数全体实数2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号方法规律：正弦上正下负，余弦右正左负。3.任意角的正弦函数、余弦函数(1)前提：设角α的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x,y).(2)结论：OQ的长度为且sinα
3、=___，cosα=___.1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα,cosα中可以将“α”与“sin”，“cos”分开.()(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()(3)角α终边上有一点P(1，1)，故cosα=1.()【解析】(1)错误.符号sinα,cosα是一个整体，不能分开.(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)错误.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=×√×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知角α终边经过点则角α的最小正值是______.(2)角α的终边经过点P(m,4)，且cosα=则m=__
4、_____.(3)角α满足sinα>0,cosα<0,则α在第______象限.【解析】(1)所以α的最小正值为答案：(2)r=因为cosα=解得m=3(舍去)，m=-3.答案：-3(3)当sinα>0时,α在第一、二象限及y轴正半轴，当cosα<0时，α在第二、三象限及x轴负半轴，故sinα>0,cosα<0时，α在第二象限.答案：二【即时练】当角α=0时，sinα=______；若角α=-3，则sinα的符号为______(填“正”或“负”).【解析】当角α=0时，sinα=0；若角α=-3，则角α是第三象限角，所以sinα＜0.答案：0负【题型示范】类型一任意
5、角的正弦函数、余弦函数【典例1】(1)(2014·石家庄高一检测)已知角α与单位圆的一个交点坐标是则cosα等于()(2)已知角α的终边经过点P(－2,－4)，求角α的正、余弦函数值.【自主解答】(1)选D.因为所以故cosα=(2)因为点P(－2,－4)在角α的终边上，故u1=－2，v1=－4，可知r=OP=所以sinα=cosα=【变式训练】已知角α的终边经过点P(2，-3)，则cosα的值是()【解析】选C.角α的终边经过点P(2，-3)，故由三角函数的定义知故选C．【考题链接】(2013·西安高一检测)已知角α为第二象限的角.P(a,4)为α终边上一点，且s
6、inα=则sinα+cosα的值为____.【解析】
7、OP
8、=r=由sinα=得所以a=±3.又α为第二象限的角,所以a=-3,所以cosα=所以sinα+cosα=15类型二三角函数值的符号的应用【典例2】(1)(已知角α是第二象限角，则点P(sinα,cosα)在第__象限.(2)确定下列各式的符号.①cos200°.②sin160°+cos(-40°).③sin210°·cos260°.【自主解答】(1)因为角α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以点P的坐标符号是(+,－)，所以点P在第四象限.(2)①200°为第三象限的角，所以cos200°＜
9、0.②160°为第二象限的角，所以sin160°＞0.-40°为第四象限的角，所以cos(-40°)＞0,所以sin160°+cos(-40°)＞0.③210°为第三象限的角，sin210°＜0,260°为第三象限的角，所以cos260°＜0,所以sin210°·cos260°＞0.四【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律【变式训练】确定下列各式的符号.(1)sin2014°.(2)(3)sin4·cos4.【解析】(1)2014°=360°×5+214°,所以2014°为第三象限的角,所以sin2014°＜0.(2)为第四象限的角,所以cos＞0.(3)4∈所
